数学概念的形成，命题的发现，解题方法的探求，都离不开观察。就数学的基础而言，公理的确定就是首先通过观察事物的运动变化，再通过抽象概括才得以形成的。观察能力不强的同学，审题时看不清题意，解题找不到突破口，学习概念时不能掌握实质，因而影响学习成绩的提高。可见，观察对数学学习是十分重要的。
那么怎样才能提高观察能力呢?一般来说应该从以下几方面下功夫。
1.通过目的性来提高观察力
目的性是数学观察活动的本质特征。没有目的的感知就算不上观察。因此，目的性是区分感知与观察的标志之一。
在数学学习中，观察的目的性表现为以下几个方面：明确观察对象、要求、步骤、方法。为此，在数学观察时，要养成观察的目的意识，也就是说，要养成观察稳定的目标，而不受其他刺激的干扰的习惯。
例如，在对logaMlogan＝logbMlogbn的证明之前，首先把观察的目标确定在这个恒等式中对数底数上，通过观察，得知每个分式的分子、分母中的对数底数相同，而不同的分式表现出分子、分母中的对数底数的不同。
通过观察加工(或理解)后，得到这个恒等式实际上是对数换底公式的变形。
2.通过条理性来提高观察力
数学学习中对数学对象的观察往往不是轻而易举地就能达到目的。在这种情况下，学习者就不能漫无边际地，杂乱无章地进行观察，而应逐步养成观察的条理性。例如，分门别类地观察，或注重对象间联系进行观察，或从特征上进行观察，等等。
例如，对方程3－3x＋x＋63－3x－x＋6＝1－4x＋2x＋8〖〗1－4x－2x＋8的观察，先从方程两边进行观察，发现两边的分母各不相同。如果通分，势必给方程带来更加复杂的结果。进而从特征上去观察，发现方程两边有共同的特征：分子、分母是两个根式的加与减。加减号前的根式总是相同的。把它写成以下模式：
A＋BA－B＝C＋DC－D
这样一来，对观察更为有利，它减少了许多干扰因素，把特征更清晰地暴露出来。
通过观察，得到方程的特征，再联想合分比定理：
AB＝CDA＋BA－B＝C＋DC－D
方程的解就垂手可得了。
这种观察就是一种有条不紊的过程、循序渐进的过程、按部就班的过程。
3.通过训练敏锐性来提高观察力
观察的敏锐性就是指在观察过程中很快地发现被观察对象的特点，或容易发现别人不易发现或易于忽略的东西。许多发明家、科学家的可贵之处就在于此。牛顿通过观察苹果坠地这种司空见惯的现象而发现了万有引力定律。这就是观察敏锐性的表现。
在立体几何中，很需要学习者的敏锐观察力。
〔例7〕如图3-4正方体的棱上的C，D分别为两条棱的中点，(1)求点P到截面ABCD的距离；(2)设二面角D－AB－P的大小为α，求cosα的值；(3)设二面角B－AD－P的大小为β，求cosβ的值。
我们利用长方体对角线的“方向余弦公式”马上就能得出(1)，(2)，(3)的简捷方法。
解：如图：将PP1延长与平面ABCD交于点E，引PO⊥截面ABCD于O，设PO＝h为所求距离，先由比例得PE＝2a
图3-4
∵(2)、(3)中的角α、β恰为：α＝∠OPE，β＝∠OPA＝∠OPB
∴直线PO与两两互相垂直的三线PE、PB、PA所成角分别为α、β、β
由“方向余弦公式”，得cos2α＋cos2β＋cos2β＝1(1)
∵cosα＝POPE＝h2a，cosβ＝ha代入(1)得h＝23a
∴cosα＝23a2a＝13
cosβ＝23aa＝23
4.通过精确性来提高观察力
观察的精确性表现为对被观察对象的隐含因素的觉察和发现，以及对被观察对象的性质间的细微的差异的发现等的品质。
例如，观察18＋18·171·2＋18·17·161·2·3＋…＋18·17·16……11·2·3……18，很快发现：
原式＝C118＋C218＋…＋C1818＝218－1
在数学学习中，重视观察品质的培养，从实质上就是对观察能力的培养。良好的观察力是使学习者学好数学的基本条件，也是激发学习者的数学探索精神、引发数学发现的源泉。提高观察力就要像巴甫洛夫所提倡的“观察，观察，再观察”那样，在观察活动中提高观察的品质。
五、如何优化数学学习过程
如何把握数学学习过程并使之优化，同时，在学习过程中努力培养自己的数学能力，这是大家共同关心的问题。著名特级教师马明就一道有启发的练习题谈了自己的看法，很值得我们细细体会。
题目y＝f(x)，且f(ab)＝f(a)＋f(b)①
求证f(ab)＝f(a)－f(b)②
证明∵f(a)＝f(ab·b)＝f(ab)＋f(b)
∴f(a)－f(b)＝f(ab)证讫。
1.善于联想
问题虽然证毕，它却还在起着作用——启发人们产生联想：
(1)对数函数不也是具有性质①、②吗?
(2)由②的证明过程，得对数运算公式
logaMN＝logaM－logaN
的另一证法：
∵logaM＝loga(MN·N)＝logaMN＋logaN，
∴logaM－logaN＝logaMN
由联想1和2进一步得到“猜想”：符合性质①的函数一定是对数函数。
还可为此“猜想”增加一条理由：在①中令a＝b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0。这正是对数函数所具有的特性“1的对数为0”。
由此可见，联想能力的培养很重要。联想可以使思维由此及彼，举一反三；想的很多，只要有条理，当然有意义。
2.敢于猜想
固然，对数函数具有f(1)＝0以及①和②等特性，但，具备这些特性的函数y＝f(x)一定是对数函数吗?就是说，猜想是否成立，还不得而知。
试一下：
(1)在①中令a＝0，b＝x，则有
f(x)＝0(常数函数!)
就是说，允许x取值0，那么f(x)是常数函数，而不是对数函数。
(2)在①中令a＝b＝－1，则有
f(1)＝f(－1)＋f(－1)
由于f(1)＝0，得f(－1)＝0。而对于对数函数来说，f(－1)是无意义的。
于是，迫使我们放弃原猜想，而换得另一个猜想：y＝f(x)(x>0)，且f(ab)＝f(a)＋f(b)，那么f(x)一定是对数函数。
这是第二次猜想，这个猜想符合实际吗?——不全符合。由于等于零的常数函数f(x)＝0也具有性质①，这就迫使我们做出最后的猜想：在具有性质①和x>0的条件下，f(x)是对数函数
或是为零的常数函数，即
f(x)＝c·logax（c≠0)
或f(x)＝0
没有联想，就难于猜想。但“猜想”对思维提出更高的要求：思维的准确性、灵活性、批判性和创造性。
3.精心证明
为了证实这个最后的猜想，先证性质
f(aα)＝αf(a)，③
其中α是任意实数。
为此，分以下四步进行：
1.α＝n；(自然数或零)
2.α＝nm；(正有理数)
3.α为正无理数；
4.α为负无理数；
证明如下：
1.反复运用①，f(an)＝f(a·a·…·a)＝f(a)＋f(a)＋…＋f(a)＝nf(a)；
2.∵f(a)＝f〔(a1m)m〕＝mf(a1m)，(由1)
∴f(a1m)＝1mf(a)，
又f(anm)＝f〔(a1m)n〕＝nf(a1m)，(由2)
∴f(anm)＝nmf(a)；
3.设f(x)连续，则当nmα(正实数)时，
f(xα)＝αf(x)；
4.0＝f(1)＝f(aα·aα)
＝f(aα)＋f(aα)，(α>0)
所以f(aα)＝－f(aα)＝－αf(a)，(由3)
至此，性质③获证。
再令aα＝x，则α＝logax，
代入③，有
f(x)＝f(a)·logax，
或f(x)＝c·logax(c＝f(a))
(当c＝0时，f(x)＝0)
又：上面的证明比较吃力，改用微分法就简单得多：
f(xy)＝f(x)＋f(y)…
分别对x，y取导数：
yf′(xy)＝f′(x)，
xf′(xy)＝f′(y)，
两比，得yf′(y)＝xf′(x)＝c(常数)，
或f′(x)＝cx，
积分之，得f(x)＝c·lnx＋c1，
令x＝1，得0＝0＋c1，∴c1＝0，
即f(x)＝c·lnx
从上面这道练习题所引出的联想、猜想及证明应该给我们以什么样的启示呢?应该说，让学生论证现成的命题固然必要，而且也总是大量的，但如果把它绝对化起来，就有可能把教学引上单纯传授知识而堵塞学生“探索”未知的道路，从而不利于培养学生的独立探索能力，不能出真才。因而引导学生从某些熟知的数学现象出发，通过比较、鉴别并进行科学地观察和创造性地提出猜想，提出富有想像力的、探讨性的问题，从而发展思维的准确性、灵活性、批判性和创造性，就成为数学教学始终要注意的问题。
六、学好逻辑推理，提高数学解题能力
推理是从一个或几个已知判断推出新的判断的思维形式，或者说，推理是从一个或几个已知命题推出新命题的思维形式。推理是获得新知识的重要方法。所有推理都是由前提和结论两部分组成的，只要前提真实可靠，推理过程合乎推理的形式和规则，得到的结论一定正确。推理可分为直接推理和间接推理。只有一个前提的推理叫直接推理，例如，零做除数没有意义，经此为前提可直接得出“使分式方程分母为零的解没有意义”这一结论，这就是直接推理。间接推理是指有两个或两个以上前提的推理，例如，无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，由这两个前提可得出“π是无理数”的结论，这就是间接推理。间接推理又可分为类比推理、归纳推理和演绎推理三种。
1.类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理，它是根据两个事物的某种属性相同或相似，推测它们其他的属性相同或相似。例如，从分数的基本性质和四则运算法则推测分式的基本性质和四则运算法则。
学习类比推理，有利于发展“举一反三”的能力，有利于寻求知识和解答若干数学问题的线索，便于通过比较自我启示、启发，通过已熟悉的知识去了解尚不熟悉的知识。但应十分注意，类比推理所引出的结论并不一定正确，例如，解不等式与解方程有很多相似之处，但如果根据方程式两边同乘一个常数等号不变，类推出不等式两边同乘一个常数不等号不变，就会发生错误。当然，如果能在类比推理之后发现或证明错误，反而有利于比较认识解方程和解不等式的异同。
2.归纳推理
归纳推理是由特殊到一般的推理，它是根据一个或一类特殊事物的某种特点推出一般结论的思维形式。例如我们可以从自然数列相加(1＋2＋3＋4＋…＋n)推断出所有等差数列的求和公式为Sn＝n(a1＋an)2。
归纳推理可分为完全归纳法和不完全归纳法两种方法，完全归纳法要求研究某类事物中的每一个对象，然后得出一般结论；不完全归纳法则是通过对一类事物中部分对象的研究，得出该类事物的一般性结论。对完全归纳法来说，前提正确，结论必然正确，但要考察某类事物的每一个对象是难乎其难的；对不完全归纳法来说，前提正确，结论未必正确，因为把部分对象所具有的规定性东西推及所有对象，这种一般概括未必可靠。
3.演绎推理
演绎推理是由一般到个别的推理，也是数学学习中最常用的思维方式。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系，只要前提真，推理合乎逻辑，得到的结论则一定正确，因此演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。演绎推理的形式有多种，数学中运用最普遍的是三段论推理。所谓三段论推理，就是由大前提、小前提推出一个结论的推理形式。三段论是以两个判断作为前提，通过一个共同概念的媒介作用，推出一个新的判断作结论的演绎推理。例如，对顶角相等(大前提)，∠A与∠B是对顶角(小前提)，则∠A等于∠B(结论)；或者，若两角是对顶角，则此二角相等(大前提)，∠C与∠D不相等(小前提)，则∠C与∠D不是对顶角(结论)。可见，三段论推理的基本形式是：凡M皆是P，S是M，S是P；或者，若是M，必有P，S没有P，则S不是M。
图3-5
〔例8〕图3-5是正三棱锥V—ABC，求证：侧面与底面所成的角相等。
证明：棱锥的侧面是三角形(大前提)
∵V—ABC是正三棱锥
∴它的各侧面都是全等的等腰三角形(小前提)
∴D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，且VD⊥AB、VE⊥BC、VF⊥CA、VD＝VE＝VF(结论)，在二面角棱上任取一点，分别在两个半平面内引棱的垂线所形成的角叫二面角的平面角(大前提)∵底面是正三角形
∴CD⊥AB，AE⊥BC，BF⊥CA(小前提)
∴∠VDO，∠VEO，∠VFO分别为三侧面与底面所成角的平面角(结论)
直角三角形斜边、直角边对应相等，则两三角形全等(大前提)
∵VO是公共边，VD＝VE＝VF
∴△VDO≌△VEO≌△VFO(小前提)
∴∠VDO＝∠VEO＝∠VFO(结论)
即侧面与底面所成角相等。
上述证明严格按三段论格式，很显然这样做太麻烦，而后边证明所采取的方法则是简化的复合三段论方法。
证明：取AB、BC、CA中点D、E、F、O为V在底面射影，连CD、AE、BF、VD、VE、VF。
∵是正三棱锥
∴CD⊥AB、AE⊥BC、BF⊥AC
VD⊥AB、VE⊥BC、VF⊥AC
∴∠VDO、∠VEO、∠VFO分别为三侧面与底面所成角的平面角
∵VO是公共边
∴△VDO≌△VEO≌△VFO
∴∠VDO＝∠VEO＝∠VFO
即侧面与底面所成的角相等。
七、几种行之有效的解题证题方法
1.巧解几何题的基本量方法
在寻找解题途径的过程中，人们常用已有的解题经验。为了让经验条理化，现介绍“经验直觉”法，或“基本量方法”。
基本量方法作为一种考虑问题的思想方法，体现了分析与综合的科学方法在数学发展过程中的作用，是一种较为基本的思想方法。因而，它的适应面就比较广。对不同的问题，如何使用基本量方法较快地达到目的，无万能口诀。但是，细心地研究这方法本身的特性以及具体地运用它解一些问题，可以帮助我们找到一些规律性的东西。
由F的基的不惟一可知：在解决问题时，可以选择不同的G来作为出发点，这也是“一题多解”产生的重要原因之一，然而，在众多的解法中如何选取较为简便的方法?先看一看下面的例子。
图3-6
〔例9〕一个圆的圆心P在顶点共圆的四边形ABCD的AB边上，此四边形的其他三边都与该圆相切。证明：AD＋BC＝AB(如图3-6)。(1985年第26届国际数学竞赛题)
分析该问题的主要数学对象是四边形ABCD，它既是某个圆的内接四边形，又有三边切于另一个圆。这时首先遇到的问题是如何画一个草图——是将两圆一起画出，还是只画一个圆?画哪个圆?通常的做法是省去该四边形的外接圆，而将圆P画出(如图3-6)，只需记住四边形ABCD的对角互补就可以了。
由图可以看出：若∠DAB与∠CBA一定相等，则它们的补角∠BCD与∠ADC一定相等，而且四边形ABCD的边长此时仅与圆P相关。于是四边形ABCD的自由度是3。若我们认定圆P的半径是1，则四边形ABCD的自由度是2。且可取G＝｛α，β｝(α＝∠DAB，β＝∠CBA)，下面用α、β来表示有关的量。
∵∠PDF＝∠PDG＝12(π－β)
∠PCF＝∠PCE＝12(π－α)
∴PA＝1sinα，PB＝1sinβ
AG＝ctgα，BE＝ctgβ，
DG＝ctg12(π－β)，
CE＝ctg12(π－α)，
以下只需作一些简单的三角计算就可以给出一个证明了。(证略)
此例若选AG与BE为基本量(于是α与β随之而定)，则不那么简便。
通常，在探寻几何问题的解法过程中，基的选择方法往往有多种。一般说来，G中含有一个角时，可得到较为简便的解法。因为对角度不但可以做代数运算，还可以做三角运算，是个易与其他元素“化合”的活泼元素，这可以算是运用基本量方法的一个技巧。
