《缀术》在唐朝，不但是国子学中的选修科目，而且还是国家考试（大约相当于今日的高考）科目之一。在当时的所有数学科目中，以此书最为深奥，故规定学习的时间也最长（计四年）。唐代之重视数学教育，由此可见一斑。到了宋朝，更由于印刷术的发明，一般老百姓和士人有幸接触数学书籍，数学知识逐渐平民化了，再加上金元异族雄踞北方虎视眈眈，士人与平民有感于国家与社会的生存环境，遂合力把数学研究从历法计算、计算赋役等等这些官府用途上解放出来，推向更开阔更深远的实用天地中，因而创造了中国古代数学的辉煌时代。《缀术》是何时失传的，无从得知，不过，即使不失传，到了明代，恐怕也不会有人闻问了。明朝以八股文取士，把唐宋以来那一股生机勃发的数学研究浪潮活生生地扼杀了。祖冲之的π值，自赵友钦（元人，著有《革象新书》）之后，便被人遗忘了，到了清代才再被发现。那个时候，洋人的π值逼近已经后来居上，西学东渐也把西方的科技成就传入中土。中国人对祖冲之的成就所采取的态度，我们不得而知，不过，令人遗憾的是，10这个极其粗陋的近似值却“统治”了中国数学界好长一段时间。
在西方，π的神秘性一直与几何三大作图难题之一的“化圆为方”连在一起。化圆为方的尝试历程中，可划归为三个阶段。第一期，从最早的埃及人时代到17世纪中叶，其特征就是使用“割圆术”，在这一段时期中，中国人所做的近似值成就，长时间地领先了西方人。第二期约从1650年到1750年，显然受到刚发明的微积分之影响，用解析方法来将π表现成连分数、收敛级数及无穷乘积等等，π的小数位也因而愈算愈多。这是中西实力消长的一个重要关键。接着下来，中国人所面临的便是一部不忍卒读的近代史。第三个时期堂堂迈入近代数学的大门，勒俊得于1974年证得π是一个无理数，再经过多人的努力，德国数学家林得曼终于在1882年证明π是一个超越数（即非整系数多项式的零位也），才解决了将圆方化的问题：使用规与矩，在有限次作图下，是无法做出一个正方形，使其面积等于一个预先给定圆的面积。这个圆方化的问题也可以转化成求圆周长的问题。因此，人类在π的本质探讨工作上，总算功德圆满了。
三角函数中符号的故事
三角函数中有许多符号，其中sin，cos，tag，ctg，sec，csc是最重要的符号，但是在这些符号使用以前，人们都是用文字来进行叙述的，这样使用起来非常麻烦。在实际应用中，人们渐渐地用符号来代替它们。
正弦的符号开始记为sine，这一词是由阿拉伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数上面的是雷基身蒙坦，他是15世纪西欧数学界的领导人物，在他1464年著的《论各种三角形》一书中，首先使用了“sine”。这本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一门独立的数学分支。
余弦和余切开始记为cossine和cotangent，它们是由英国人根目尔在1620年出版的《炮兵测量学》一书中首先创造并使用的。
正割和正切开始记为secant和tangent，它们是由16世纪初期丹麦数学家箍马斯·芬克首先创造并使用的，最早见于他的著作《圆几何学》中。
余割开始记为cosecnat，它是由锐梯卡斯在16世纪创造的，最早见于他1596年著的《宫廷乐曲》一书中。
后来，人们在使用中，发现这些符号比较长，而且写起来容易出错，1626年，阿贝尔把“sine”，“tangent”，“secant”，简写为“sin”，“tan”，“sec”。到了1675年，英国人奥斯特又把“cosine”，“cotangent”，“cosecant”简写为“cos”，“cot”，“csc”，但是这些符号并没有通行开来，直到1748年，经过数学家欧拉的提倡，才得以普及。在我国，解放后，数学教材受到了苏联数学的影响，把“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号没有改动，现在这六个符号一直在三角函数中广为应用。
弧度的由来
在数学和物理中，弧度是角的量度单位。它是由国际单位制导出的单位。
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法。在角度制中，我们把周角的1/360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度。由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量。
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法。单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角。由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R。
根据弧度的定义，以长为圆周长（2πr）的弧所对的圆心角为2π弧度，半个圆周长的弧所对的圆心角为π弧度。
于是，角度与弧度间换算关系就十分明了了。因为360度=2π，所以，1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
18世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的。瑞士数学家欧拉（1707—1783年）在他于1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为1，使得对三角函数的研究大为简化。这是欧拉在数学史上的重要功绩之一。
其次，欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想。他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是π，所对圆心角的正弦是0，即sin＝0。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算。
事实上，弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏形起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分，即取圆周率π=3.142，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。
1873年6月5日，数学教师汤姆生在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词。当时，他将“半径”（radius）的前四个字母与“角”（angle）的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和引用。我国学者曾把radian译成“弪”（由“弧”与“径”两字的一部分拼成）。中华人民共和国成立以来，中学数学教科书中都把radian译作“弧度”。
1881年，学者哈尔斯特等用希腊字母ρ表示弧度的单位。1907年，学者包尔用r表示；1909年，学者霍尔等又用R来表示，现在人们习惯把弧度的单位省略。
唐代中外数学著作的交流
南北朝和隋唐时期，随着佛教的流传，印度的一些天文学和数学著作也传入中国，并且有了中文译本。《隋书·经籍志》著录有《婆罗门算法》3卷，《婆罗门阴阳算历》1卷，《婆罗门算经》3卷，但这些书早就失传了，现已无法查考其具体内容。唐代还有一些印度天文学家在当时的司天监工作，主要有瞿昙、迦叶和俱摩罗三家，尤以翟昙家族的成就最为突出。如著名天文学家瞿昙悉达，曾担任过太史监等官职，编撰有《开元占经》120卷。在这部书所收的《九执历》中，他所介绍的印度数学知识有印度数码，如用9个数码符号表示9个数字，用点表示空位或零，但该书仅用方框表示而没有写出这9个数码的具体写法，以致印度数码未能在中国流传下来。印度数码亦于中世纪传入阿拉伯国家，后又传入欧洲，经过书写形式上的演变，从而形成了现在世界通用的印度—阿拉伯数码。瞿昙悉达介绍的印度数学知识还有圆弧量法、间隔为3度45分的正弦函数表等。其圆弧量法是把圆周分为360度，每度分为60分，与古希腊人的弧度量法相同，而与中国古代天文学家的分法不同。但是，这些较先进的印度天文算法，与中国传统的算法体系难以协调，中国学者中具有代表性的看法是，“其算皆以宇书（笔算），不用筹策。其术繁碎，或幸而中，不可以为法。名数诡异，初莫之辩也”。因而这些内容都没有被中国数学家和天文学家所采用。传入中国的印度数学，后来仅有大数记法与小数记法对中国数学有所影响，如元代数学家朱世杰《算学启蒙》中的“极”、“恒河沙”、“无量数”、“虚”、“空”、“弹指”等大数与小数名称，都来自佛教经典。另一方面，在钱宝琮主编的《中国数学史》中，列举了十进位值制记数法、四则运算、分数、三率法、弓形面积与球体积、联立一次方程组、负数、勾股问题、圆周率、重差术、一次同余组、不定方程问题、开方法和正弦表的造法等14项数学内容，用以说明有些与中国数学极其相似的问题和算法，后来又出现在印度的数学著作中，因此印度数学的这些内容很可能受到了中国数学的影响。当然这还需要寻找更确切的证据，中印数学之间的关系是一个值得深入探讨的课题。
中国与朝鲜、日本之间的文化交流，源远流长。中国数学是朝、日两国早期数学发展的基础，其影响之大是可想而知的。在朝鲜，据《三国史记》记载，新罗早在7至8世纪，便曾在“国学”（相当于中国的国子监）内设立算学科，置“算学博士若助教一人，以《缀经》、《三开》、《九章》、《六章》教授之”。其中所说《缀经》，当是祖冲之《缀术》，《九章》即《九章算术》，而《三开》、《六章》为何书则在我国古籍中未见记载。总的来说，其数学教育制度与所用教材，均与唐朝国子监算学馆相类似。10至14世纪的高丽王朝也建立了类似的制度。他们还多次派人来华采购各种书籍，其中也包括数学书籍。在日本，早在公元3世纪，日本就开始吸收中国的数学知识，而从6、7世纪日本的飞鸟、奈良时代起，中国的历法和数学就更多地直接或经由朝鲜间接地传入日本。日本于8世纪初设立学校，讲授数学，据日本养老二年（718年）公布的《养老令》及其释义书《令义解》（833年）记载，可知当时所用教材有。孙子》、《五曹》、《九彰、《海岛》、《六彰》、《缀术》。《三开》、《重差》、《周髀》、《九司》等十部算书。其教职人员的设置、学生人数、学习内容和考试方法等也与唐朝国子监算学馆的制度相类似。宽平年间（889—897年）藤原住世奉敕编撰《日本国见在书目》，记录了当时在日本可以见到的各种书籍。在其中的“历数家”一门中，除记载了《周髀》、《九章》等秦汉以来的算书外，还记录了《六章》、《三开》等见于朝鲜书目的算书，此外也还有一些中国和朝鲜历代书目都未载而仅见于日本的算书，如《九章私记》、《六章私记》、《新集算例》、《元嘉算术》、《要用算例》、《五行算术》等。这些著作中有些是中国人的作品，有些则可能是日本数学家在中国数学影响下而自行创作的作品。日本在相当长的时期内直接使用中国历法，如《元嘉历》、《麟德历》、《大衍历》和《宣明历》等，这些历法中所包含的数学方法如二次插值法等自然也相应地传入了日本。
角
在平面内由一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角。射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。如角α、β。
正角
一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角。
负角
一条射线绕着它的端点按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角。
零角
当射线没有做任何旋转时，形成的角叫零角。
终边相同的角
凡有相同的始边和终边的角都互称为终边相同的角。显然与任一角α终边相同的角有无穷多个。终边相同的角连同α角在内可表示为：
k·360°+α，k∈Z；2Kπ+α，k∈Z；{β/β=k·360°+αk∈Z}
象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，角的终边落在第几象限内，这个角就叫做第几象限的角。
α为一、二、三、四象限的角分别表示如下：（k∈Z）
2kπ<α<2kπ+π2或k·360°<α<k·360°+90°
2kπ++π2<α<（2k+1）π或k·360°+90°<α<（2k+1）·180°
（2k+1）π<α<（2k+1）π+π2或（2k+1）·180°<α<（2k+1）·180°+90°
（2k+1）π+π2<α<2（k+1）π或（2k+1）·180°+90°<α<2（k+1）·180°
终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限。
三角函数的定义
设α是任意大小的角，α终边上任一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），那么α的六个三个函数定义为：
正弦函数sinα=yr余弦函数cosα=xr
正切函数tgα=yx余切函数ctgα=xy
正割函数secα=rx余割函数cosα=ry
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看作从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数叫做三角函数。
三角函数值的符号
各三角函数值在各象限的符号如下图所示：
用单位圆中的线段表示三角函数值
设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y）
单位圆中规定了方向的线段MP、OM、AT、BS分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线和余切线。
商高定理
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？
商高是公元前11世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”
什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。
商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”。
毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前5世纪的人，比商高晚出生五百多年。
希腊另一位数学家欧几里德在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
总统巧证勾股定理
