第40章 尺规作图拾趣

希腊是奥林匹克运动的发源地。奥运会上的每一个竞赛项目，对运动器械都有明确的规定，不然的话，就不易显示出谁“更快、更高、更强”。一些古希腊人认为，几何作图也应像体育竞赛一样，对作图工作作一番明确的规定，不然的话，就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。

应该怎样限制几何作图工具呢？他们认为，几何图形都是由直线和圆组成的，有了直尺和圆规，就能作出这两样图形，不需要再添加其他的工具。于是规定在几何作图时，只准许使用圆规和没有刻度的直尺，并且规定只准许使用有限次。

由于有了这样一个规定，一些普普通通的几何作图题，顷刻间身价百倍，万众瞩目，有不少题目甚至让西方数学家苦苦思索了2000多年。

尺规作图特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次，他还编了一道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。

拿破仑出的题目是：“只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。”

由于圆心O是已知的，求出这个题目的答案并不难。

我们可以在圆周上任意选一点A，用圆规量出OA的长度，然后以A点为圆心画弧，得到B点；再以B点为圆心画弧，得到C点；再以C点为圆心画弧，得到D点。这时，用圆规量出AC的长度，再分别以A点和D点为圆心画两条弧，得到交点M。接下来，只要用圆规量出OM的长度，逐一在圆周上划分，就可以把圆周4等分了。

如果再增添一把直尺，将这些4等分点连接起来，就可以得到一个正4边形。由此不难看出，等分圆周与作正多边形实际上是一回事。

只使用直尺和圆规，怎样作出一个正5边形和正6边形呢？

这两个题目都很容易解答，有兴趣的读者不妨试一试。

不过，只使用直尺和圆规，要作出正7边形可就不那么容易了。别看由6到7，仅仅只增加了一条边，却一跃成为古代几何的四大名题之一。尺规作图题就是这样变化莫测。

这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策。后来，大数学家阿基米德发现了前人之所以全都失败了的原因：正7边形是不能由尺规作出的。阿基米德从理论上严格证明了这一结论。

那么，采用尺规作图法，究竟有哪些正多边形作得出来，有哪些作不出来呢？

有人猜测：如果正多边形的边数是大于5的质数，这种正多边形就一定作不出来。

17是一个比5大的质数，按上面这种说法，正17边形是一定作不出来的。在过去的2000年里，确实有许多数学家试图作出正17边形，但无一不遭受失败。岂料在1796年，18岁的大学生高斯居然用尺规作出了一个正17边形，顿时震动了整个欧洲数学界。

这件事也深深震动了高斯，使他充分意识到自己的数学能力，从此决心献身于数学研究，后来终于成为一代数学大师。

高斯还发明了一个判别法则，指出什么样的正多边形能由尺规作出，什么样的正多边形则不能，圆满地解决了正多边形的可能性问题。高斯的判别法则表明，能够由尺规作出的正多边形是很少的，例如，在边数是100以内的正多边形中，能够由尺规作出的只有24种。

有趣的是，正7边形的边数虽少，却不能由尺规作出；而正257边形，边数多得叫人实际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。1832边形，边数多得叫人实际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。1832年，数学家黎克洛根据高斯指出的原则，解决了正257边形的作图问题。他的作图步骤极其繁琐，写满了80页纸，创造了一项“世界纪录”。

不久，德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。他费了10年功夫，解决了正65537有的作图问题。这是世界上最繁琐的尺规作图题。据说，赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢！