工人们停止了撞击。所有的眼睛全都注视着这只华丽的船，船上的白色篷帆在斜阳下像镀了金一样。快艇很快就出现在船坞的正前面。船坞上成千的人都出神地看着它。突然听到一声惊呼，“特拉波科罗”号正当快艇的右舷对着它的时候，开始摇摆着滑下去了。两条船就要相撞了。已经没有时间、没有方法能够防止这场惨祸了。“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去……船头上卷起了因摩擦而起的白雾，船尾已经淹没在了水里。
突然出现了一个人，他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆绳绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有10秒钟。最后，缆索断了。可是这10秒时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻轻擦了一下快艇，就向前驶了开去。快艇脱了险。
下面用数学的方法来分析一下“特拉波科罗”号事件：公元1748年，瑞士数学家欧拉在他的传世之作《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题。
欧拉发现：对于一个很小的转角a，绳子的张力差的量值T与T及a成正比。上图中T1、T2分别是人的拉力方向的力和船的拉力方向的力，T＝T2—T1，T则近似的等于T1、T2。即T∝α，写成等式为：T＝—kTα式中k为摩擦系数，负号是因为问题中张力的值是减少的。其中T＝T0e—ka。这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式。
现在转到故事中来。假定“特拉波科罗”号船体重50吨，船台坡度为1∶10，那么船的下滑力约为5吨，即5000千克；又假设马蒂夫来得及把缆绳在铁桩上绕了三圈，即a＝2π×3＝6π；而绳索与铁桩之间的摩擦系数k＝0.33。
把上述数值代入欧拉公式，便可得到马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气力T（千克力，1千克力≈10牛）为：
T＝5000×e—0.33×6π。
T的值是很容易用对数的方法求出来的。
lgT＝lg5000—0.33×6×3×3.1416lge。
＝3.6990—0.33×6×3.1416×0.4343。
＝0.9975。
T＝9.943（千克力）
这就是说，儒勒·凡尔纳笔下那位力挽狂澜的“大力士”。实际上所用的力气不足10千克。这是连一个少年都能做得到的。
变量中的常量
众所周知，目前的银行存款中，存8年期的利率，往往比存1年期或存3年期的利率高。读者可能以为这仅仅是为了鼓励人们去存较长期限的储蓄。实际上这是本该如此的。因为倘若存长期的利率没有比存短期的利率高出一定限度，那么甚至于存短期的储蓄对储户更加合算。
为说明上述的道理，我们假定所有存款的年利率均为12.5%。让我们看一看究竟会出现什么毛病。
假设某甲，持本金100元存入银行，一存8年，容易算出，8年后他连本带利恰好取回200元。
又设某乙，也持本金100元存入银行，存4年；4年后取出，旋即又将本利再次存入，又存4年。容易算出，头尾8年某乙连本带利共可收回a2=100×（1+12）2=225（元）
瞧，某乙把一次8年期的存款，分为两次4年期存。本身只多办一道手续，结果竟多得了25元，这相当于本金的四分之一，可算是一笔不少的钱数。
再设某丙、某丁、某戊，把8年的期限分得更细，分别等分成3次存、4次存和5次存。每次取出后又立即将款全数存入。这样，头尾8年，各人分别得款（单位元）：
a3=100×（1+13）3=237.04。
a4=100×（1+14）4=244.14。
a5=100×（1+15）5=248.83。
同样，某N，也有本金100元，但把8年期限等分成n次存，每次取出后再度存入，则8年后可得（单位元）：
an=100×（1+1n）n。
可以证明，当分划期限越短时，到期本利和越高。不过，当n无限增大时，变量an也不可能无限增大，它以一个常量为极限，这个常量为：
α=limn→∞αn。
=limn→∞［100×（1+1n）n］。
=100e=271.83。
这就是说，如果存1年期的利率为12.5%，那么存8年期的年利率就必须不低于：
P=a100—18=27183—18=2148%。
否则便会出现一种混乱的局面：储户为了谋求较高的利息，不惜花时间频繁地取出又存进。
变量中的常量，往往具有深刻的意义。在柯尔詹姆斯基的《趣味数学》中，有一则关于旅行的别致故事：
甲、乙两人骑自行车旅行，某甲中途车坏，只好停下来修理，但最后因无法修复而决定舍弃坏车，继续前进。然而，此时两人只有一车，于是约定：一人骑车，一人步行。骑车的人到某一地方把车留下，改为步行；而后面步行的人，起到留车的地方换成骑车。骑一段时间后又改成步行，把车留给后者。如此这般，两人轮流骑车。问从某甲车坏时起，最少需要花多长时间，两人才能同时抵达目的地？假定车坏处（O）与目的地（E）之间的距离为60公里，自行车速度为15公里/小时，步行速度为5公里/小时。
下面让我们通过作图来探讨一下可能的解答：
以O为原点，时间为x轴，距离为Y轴，建立坐标系XOY，由于人步行的速度和自行车速度都是变化过程中的常量，因此它们分别表现为坐标系XOY中的射线OC和OD。
令E1、E2分别为甲、乙两人车坏后第一次和第二次相遇的地点。此时，某甲先是步行到A1，然后骑车经过E1抵达A2，又改成步行到E2；而某乙则先骑车到B1，然后由B1步行经E1到达B2，又改成骑车抵E2；当然，在E2相遇后各人依然继续前行。由于车速和人速始终保持不变，所以表示骑车或表示步行的线段，应当各自平行。即四边形OA1E1B1及E1B2E2A2均为平行四边形。又注意到甲改步行为骑车，与乙改骑车为步行，位于同一地点。因此线段A1B1及A2B2等都平行于x轴。假定两次换车的地点距O处分别为y1，y2公里。则因射线OC、OD的方程为：
OC：y＝5x。
OD：y＝15x。
可得A、B两点的坐标如下：
A（y15），B（y115，y1）
从而E1点坐标（xE1，yE1）为：
xE1=xA+xB=y15+y115=415y1。
yE1=yA+yB=2y1。
yE1xE1=2y1415y1。
=152。
所以yE1=（152）xE1。
这表明E1点位于由原点发出的斜率为152的射线上。同理，E2，E3，也应当都位于这条射线上。再由于O点离目的地E距离为60公里，因此到达的时间x应满足：
60=（152）x。
从而x＝8（小时）
上述结果表明：不管甲乙两人在路途上骑车、步行怎样换来换去，只要是同时到达目的地，所用的时间总是8小时。这一类变量中的常量，并不是所有人一开始都能知道的。
有时某些变化的量中，总保持着某种特定的关系。一个最常见的例子，就是两个正数x1、x2的以下关系式x1+x22≥x1x2。
等式当且仅当x1＝x2时才成立。
上面的正数算术平均值与几何平均值的关系式，可以推广到n个数。即对于n个正数x1，x2…，xn有：
x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn。
等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时才成立。
上述不等式的一个简单而巧妙的证明，是利用对数函数y＝lgx图像的凸性。所谓函数图像在某区间的凸性是指：在该区间函数图像上的任意两点所连成的线段，整个地位于函数图像的下方（或上方）。对数函数y＝lgx图像的凸性是很容易证明的，读者不妨试试。
现设x1，x2，…xn为n个正数，已按从小到大排列。又A1为相应于横坐标为x1的、y＝lgx图像上的点。易知，多边形A1，A2，…An为凸多边形，因此点系重心G（x，y）必位于多边形内。即有lgx≥y。
x=x1+x2+…xnn。
y=lgx1+lgx2+…lgxnn=lgnx1x2…xn。
所以lgx1+x2+…+xnn≥lgnx1x2…xn。
从而x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn。
等号当且仅当x1，x2…xn都相等时才成立。
上述不等式在数学的许多领域，有着广泛和有趣的应用。
