费马和帕斯卡建立了支配各种机会对策的基本法则，它可被博弈者们用来决定完善的博弈策略。此外，这些概率定律已经在从证券市场投机到核事故的概率估计等一系列场合得到了应用。46帕斯卡甚至相信他能用他的理论证明信仰上帝是有理由的。他说：“赌徒在押赌时感受到的刺激等于他可能赢得的钱数乘以他获胜的概率。”然后他论证道：永恒的幸福具有无限的价值，由于生活道德高尚而进入天堂的概率不管怎么小肯定是有限的。于是，按照帕斯卡的定义，宗教是一种有无穷刺激的游戏，一个值得参与的游戏，因为无限的奖励乘以一个有限的概率其结果是无穷大。
除了分享概率论创立者的荣誉之外，费马还在另一个数学领域——微积分——的建立中做出了很大贡献。微积分是计算一个量关于另一个量的变化率（称为导数）的工具。例如，路程关于时间的变化率众所周知就是速度。对数学家来说，这些量往往是抽象的和难以捉摸的，但是费马的工作产生的结果则是使科学发生一场革命。费马的数学使科学家们能更好地理解速度的概念以及它与其他的诸如加速度（速度关于时间的变化率）等基本量之间的关系。
经济学是深受微积分影响的一门学科。通货膨胀率是价格的变化率，称为价格的导数；此外，经济学家常常有兴趣研究通货膨胀率的变化率，称为价格的二阶导数。这些术语频繁地被政治家使用。数学家雨果·罗西（HugoRossi）曾注意到下列事实：“在1972年秋天，尼克松总统宣布通货膨胀率的增长率正在下降。这是第一次一个当任总统使用一个三阶导数来推进他的连任活动。”
几个世纪来，一直都认为是艾萨克·牛顿独立地发明了微积分，47而不知晓费马的工作。但是在1934年，路易斯·特伦查德·穆尔（LouisTrenchardMoore）发现了一个注记，这个注记记录了历史的真实，并恢复了费马应得的荣誉。牛顿写道，他在“费马先生的画切线的方法”的基础上发展了他的微积分。自17世纪以来，微积分一直用来描述牛顿的引力定律和他的力学定律，这些定律都与距离、速度和加速度有关。
微积分和概率论的发明可能已完全足以使费马在数学家的荣誉殿堂中占有一席之地，但他最大的成就还是在另一个数学分支中。微积分自那时以来已经被用于将火箭送上月球，概率论也已被保险公司用于风险评估，费马却特别钟情于一门大体上无用的学科——数论。费马被一种强烈的念头——想要了解数的性质以及它们之间的关系——驱使着。这是最纯粹和最古老的数学形式。费马的研究是建立在从毕达哥拉斯一直传到他的大量知识的基础上的。
数论的演变
毕达哥拉斯死后，数学证明的思想迅速地在文明世界中传播开来，在他的学派所在地被烧为平地两个世纪后，数学研究的中心已经从克罗敦转移到亚历山大城。公元前332年，已经征服了希腊、小亚细亚和埃及的亚历山大大帝（AlexandertheGreat）决定建造世界上最宏伟的都城。亚历山大城确实是一座蔚为壮观的大都市，但并没有立即成为学术中心。48一直到亚历山大大帝死后，他的同父异母兄弟托勒密一世（PtolemyI）登上埃及王位的时候，亚历山大城才成为世界上破天荒第一所大学的所在地。数学家们和其他知识分子群集于托勒密王朝的这座文化城，虽然他们确实是被大学的声誉所吸引，但最令他们感兴趣的还是亚历山大图书馆。
建立这座图书馆是迪米特里厄斯·法拉留斯（DemetriusPhalareus）的主意，他是一位不受欢迎的演说家，曾被迫潜逃出雅典城，并最终在亚历山大城避难。他劝说托勒密把所有重要的图书收集起来，并使他相信优秀的、有才智的人会随之而来。埃及和希腊的大卷书籍被安置好后，王朝就迅速派出人员走遍欧洲和小亚细亚搜集更多的学术着作。甚至到亚历山大城来的旅游者也逃不出图书馆的饕餮大口。一旦他们进入该城，他们的书籍就被没收并交给抄写员。然后这些书被复制，因而在原书捐赠给图书馆的同时，可以礼貌地将复制本交给原主。这种对古代旅游者提供的非常仔细的复制服务给今天的历史学家们带来某种希望——遗失了的珍贵版本也许有一天会出现在世界上某处的一个阁楼上。1906年J.L.海伯格（J．L.Heiberg）在君士坦丁堡现为土耳其的伊斯坦布尔市。——译者就发现过一份手稿《方法论》（TheMethod），它记载有阿基米德（Archimedes）的某些原着。
托勒密一世建造知识宝库的梦想在他死后仍然延续下来，历经几代托勒密王朝的国王传代之后，图书馆已拥有60多万册图书。数学家们在亚历山大经过学习能学到当时世界上的任何知识，在那里有最着名的科学家教他们。数学系的第一号人物不是别人，正是欧几里得（Euclid）。
欧几里得生于公元前330年左右。49与毕达哥拉斯一样，欧几里得只是为数学本身而探求数学真理，在他的着作中并不寻求应用。有一个故事讲到，有个学生问欧几里得他正在学习的数学有什么用处，当讲课一结束，欧几里得就转身向他的奴仆说：“给这个孩子一个硬币，因为他想在学习中获得实利。”然后这个学生就被驱逐了。
欧几里得一生的大量时间花在撰写《几何原本》（Elements）这本有史以来最成功的教科书上。直到本世纪之前，它是世界上仅次于《圣经》的第二本畅销书。《几何原本》共有13卷，其中一部分写的是欧几里得自己的工作，其余部分则收集了当时所有的数学知识，包括有2卷全部写的是毕达哥拉斯兄弟会的研究工作。自毕达哥拉斯以后的几个世纪中，数学家们已经发明了许多可以应用于不同场合的逻辑推理方法，欧几里得娴熟地在《几何原本》中使用了这些方法。特别是欧几里得利用了一种被称为“反证法”的逻辑武器，这种方法围绕这样一个有点不合情理的想法展开：企图证明某个定理是真的，但首先假定它是假的；然后数学家去探讨由于定理是假的而产生的逻辑结果。在逻辑链的某个环节上会出现一个矛盾（例如，2+2=5），而数学不能容忍矛盾，于是原来的定理不可能是假的，也就是说它是真的。
英国数学家G.H.哈代在他的《一个数学家的自白》这本书中概括了反证法的精髓：“欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法：棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜，而数学家则牺牲整个棋局。”
欧几里得的一个最着名的反证法确立了所谓的“无理数”的存在性。50也有人怀疑无理数最初是毕达哥拉斯兄弟会在几个世纪前发现的，只是由于毕达哥拉斯如此地厌恶这个概念以致他否认了这种数的存在。
当毕达哥拉斯声称天地万物是由数支配的时候，他所指的数只是总称为有理数的整数以及整数的比（分数）。无理数是既不是整数又不是分数的数，这就是无理数使毕达哥拉斯如此惊骇的原因。事实上无理数是这样地奇特，它们不能被写成小数，即使是循环小数。像0.11111…这样的循环小数实际上是一个相当简单的数，它等于分数1／9。数字“1”永远重复这个事实意味着这个小数有非常简单和规则的构成方式。这种规则性，尽管它无限次地延续，仍意味着这个小数可以被重新写成为一个分数。然而，如果你企图将一个无理数表示为一个分数，那么最终会是一个构成方式毫无规则的（或者说非一贯的）永远延续下去的数。
无理数的概念是一个重大的突破。数学家们当时正在寻找、发现或者说发明整数和分数以外的新的数。19世纪的数学家利奥波德·克罗内克（LeopoldKronecker）说：“上帝创造了整数;其余则是我们人类的事了。”
真正的值接近于3．14159265358979323846，但即使这个值也只不过是一个近似值。事实上，π不可能被精确地写出，因为小数位会永远延续下去且无任何模式。这种随机的模式有一个美妙的特点，51即它可以利用一个极有规则的方程来计算：
π=411-13+15-17+19-111+113-115+…。
通过计算开首的几项，你会得到π的一个非常粗糙的值，但若计算越来越多的项，就会达到越来越准确的值。虽然知道π的39个小数位就足以计算银河系的周界使其准确到一个氢原子的半径，但这并不能阻止计算机科学家们将π计算到尽可能多的小数位。当前的纪录是由东京大学的金田安昌（YasumasaKanada）保持的，他于1996年将π算到60亿个小数位。最近的传闻暗示，在纽约的俄国人丘德诺夫斯基（Chundnovsky）兄弟已经将π算到80亿个小数位，他们的目标是达到1万亿个小数位。但即使金田或者丘德诺夫斯基兄弟继续计算直到他们的计算机耗尽世界上所有的能量为止，他们也仍然不会找到π的准确值。由此不难理解为什么毕达哥拉斯要将这些难以驾驭的数的存在性隐瞒起来。
当欧几里得大胆面对《几何原本》第10卷中的无理性问题时，53其目标是证明可能存在永不能写成为一个分数的数。他并没有尝试证明π是无理数，而代之以研究2的平方根2——自身相乘后等于2的数。为了证明2不可能写成一个分数，欧几里得使用了“反证法”，并从假定它能写成一个分数开始着手。然后他证明这个假定的分数总能简化。分数的简化意指，例如，分数812经过用2去除分子和分母可以简化成46。接着46可以简化成23，而23再也不能简化，因而这个数被认为是812的最简形式。然而，欧几里得证明了他假定的代表2的那个分数可以无限多次地反复简化但不会化成它的最简形式。这是荒谬的，因为一切分数最终一定有它的最简形式。因而，这个假定的分数不可能存在。于是，2不可能写成一个分数，所以是一个无理数，附录2中给出了欧几里得的证明的概要。
使用了反证法，欧几里得得以证明无理数的存在，这是第一次使数具有了一种崭新的、更为抽象的性质。在这以前，一切数都可以表示成整数或分数，而欧几里得的无理数向这种传统的表示法发起了挑战。除了把2的平方根表示成2之外，没有其他的方法来描述这个数，因为它不能写成一个分数。而企图将它写成一个小数的结果永远只能是它的一个近似值，例如1.414213562373…。
对毕达哥拉斯来说，54数学的美在于有理数（整数和分数）能解释一切自然现象。这种起指导作用的哲学观使毕达哥拉斯对无理数的存在视而不见，甚至导致他的一个学生被处死。有个故事说，一个名叫希帕索斯（Hippasus）的年轻学生出于无聊摆弄起数2来，试图找到等价的分数，最终他认识到根本不存在这样的分数，也就是说，2是一个无理数。希帕索斯想必对他的发现喜出望外，但他的老师却并不如此。毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他的信念的怀疑。希帕索斯的洞察力获得的结果一定经过了一段时间的讨论和深思熟虑，在此期间毕达哥拉斯本应承认这个新的数源。然而，毕达哥拉斯不愿意承认自己是错的，同时他又无法借助逻辑推理的力量来推翻希帕索斯的论证。使他终身羞耻的是他判决将希帕索斯淹死。
这位逻辑和数学方法之父宁可诉诸暴力而不承认自己是错的。毕达哥拉斯对无理数的否认是他最不名誉的行为，也可能是希腊数学最大的悲剧。只有在他死后无理数才得以安全地被提及。
虽然欧几里得明显地对数论有兴趣，但这不是他对数学的最大贡献。欧几里得真正的爱好是几何学。《几何原本》13卷中的第1到第5卷集中写平面（二维的）几何学，而第11到13卷则处理立体（三维的）几何学。它是如此完整的一套知识，以至于《几何原本》的内容在以后的2000年内构成中学和大学中几何课程的基本内容。
在数论方面，55编纂了有同样价值的教科书的数学家是亚历山大的丢番图（Diophantus），他是希腊数学传统的最后一位卫士。虽然丢番图在数论方面的成就完好地记载在他的书中，但是关于这位杰出数学家的其他方面人们差不多一无所知。他的诞生地不详，他到达亚历山大的时间可能是五个世纪中的任何一年。在他的着作中丢番图引用了海普西克尔斯（Hypsicles）的话，因而他一定生活在公元前150年之后;另一方面，他自己的工作又被亚历山大的西奥（Theon）所引用，因而他一定生活在公元364年以前。公元250年前后这段日期一般被认为是合理的估计。流传下来的丢番图的生平是以谜语的形式叙述的，很适合解题者的口味，据说曾被镌刻在他的墓碑上：
上帝恩赐他生命的16为童年；再过生命的112，他双颊长出了胡子；再过17后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。唉，不幸的孩子，只活了他父亲整个生命的一半年纪，便被冷酷的死神带走。他以研究数论寄托他的哀思，4年之后他离开了人世。
挑战是算出丢番图的寿命，答案可在附录3中找到。
这个谜语是丢番图喜爱的那类问题中的一个例子。他的专长是解答要求整数解的问题，在现今，这一类问题被称为丢番图问题。他在亚历山大的生涯是在收集易于理解的问题以及创造新的问题中度过的，然后他将它们全部汇集成一部书名为“算术”的重要论着。组成《算术》的13卷书中，只有6卷逃过了欧洲中世纪黑暗时代的骚乱幸存下来，继续激励着文艺复兴时期的数学家们，包括皮埃尔·德·费马在内。57其余的7卷在一系列的悲剧性事件中遗失。这些事件使数学倒退回巴比伦时代。
丢番图的《算术》的克劳德·加斯帕·贝切特（ClaudeGasparBachet）译本的扉页，出版于1621年。这本书成了费马的“圣经”，激励他做了许多工作。
