数学不是沿着清理干净的公路谨慎行进的，而是进入一个陌生荒原的旅行，在那里探险者往往会迷失方向。撰史者应该注意这样的严酷事实：绘就的是地图，而真正的探险者却已消失在别处。
——W.S.安格林“从我孩提时代第一次遇到费马大定理以后，77它就一直是我最大的兴趣所在，”安德鲁·怀尔斯回忆道，语调显得有些踌躇，透露出他对这个问题的激情，“我发现了这个历时300多年还未能解决的问题。我想到我的许多校友并不热衷于数学，所以我不去与我的同龄人讨论这个问题，但我有一个老师，他曾研究过数学，他给了我一本数论方面的书。这本书为我如何着手解决这个问题提供了一些线索。我假定费马懂得的数学并不比我已经懂得的多很多，根据这个假定我开始工作。我尝试使用他可能用过的方法来找出他的遗失了的解法。”
怀尔斯是一个单纯而又有抱负的孩子，他看到了一个成功的机会，一代代的数学家在这个机会面前都失败了。在别人看来这似乎像一个鲁莽的梦想，但是年轻的安德鲁却想到了他——一个20世纪的中学生78——懂得的数学与17世纪的天才皮埃尔·德·费马一样多，或许由于他的天真会使他碰巧找到一个别的世故得多的学者未曾注意到的证明。
尽管他充满热情，每一次的计算却总以失败告终。他绞尽脑汁，翻遍了他的教科书，却依然一无所获。经受了1年的失败之后，他改变了策略，他拿定主意认为他也许能够从那些更为高明的数学家的错误中学到一些有用的东西：“费马大定理有这么难以置信的传奇性经历，许多人都思考过它，而且过去试图解决这个问题并失败了的大数学家越多，它的挑战性就越大，它的神秘色彩就越浓。在18世纪和19世纪中，许多数学家用过如此多的不同方法试图解决它，所以，作为一个十几岁的少年，我决定我应该研究那些方法，并且设法理解他们一直在做的那些工作。”
年轻的怀尔斯仔细研究了每一个曾经认真地试图证明费马大定理的人所用的方法。他从研究历史上最富有创造力并在对费马的挑战中首先取得突破的数学家的工作着手。
数学的独眼巨人
创建数学是一个充满痛苦且极为神秘的历程。通常证明的目标是清楚的，但是道路却隐没在浓雾之中。数学家们踌躇不决地计算着，担心着每一步都有可能使论证朝着完全错误的方向进行。此外，还担忧根本没有路存在。数学家可能会相信某个命题是对的，79并且花费几年的工夫去证明它确实是对的，可是它实际上完全是错的。于是，在效果上，这个数学家只是一直在企图证明不可能的事。
在这门学科的历史中，只有少数几个数学家似乎摆脱了那种威胁着他们的同事的自我猜疑。这样的数学家中最着名的代表也许就是18世纪的天才莱昂哈德·欧拉，正是他首先对证明费马大定理做出了突破性的工作。欧拉有着令人难以置信的直觉和超人的记忆力，据说他能够在头脑中详细列出一大堆完整无缺的演算式而无须用笔写在纸上。在整个欧洲他被誉为“分析的化身”，法国科学院院士弗朗索瓦·阿拉戈（FranoisArago）说，“欧拉计算时就像人呼吸或者鹰乘风飞翔一样无需明显的努力”。
莱昂哈德·欧拉1707年生于瑞士巴塞尔，是基督教新教加尔文宗的牧师保罗·欧拉（PaulEuler）的儿子。虽然年轻的欧拉显示出异常的数学才能，他的父亲还是决定他应该研究神学并从事神职工作。莱昂哈德恭顺地服从了父亲的意愿，在巴塞尔大学学习神学和希伯来语。
对欧拉来说幸运的是，杰出的伯努利（Bernoullis）家族的家也在巴塞尔城。伯努利家族可以轻松地宣称自己是最数学化的家族，他们仅仅三代中就出了八位欧洲最优秀的数学家——有人曾说过，伯努利家族之于数学就如同巴赫（Bach）家族之于音乐一样。他们的名声超越了数学界，有一个传说可以勾勒出这个家族的形象。丹尼尔·伯努利（DanielBernoullis）有一次正在作穿越欧洲的旅行，他与一个陌生人开始交谈。80片刻之后他谦恭地自我介绍：“我是丹尼尔·伯努利。”“那么我，”他的旅伴挖苦地说，“是艾萨克·牛顿。”丹尼尔在好几个场合深情地回忆起这次邂逅，将它当做他曾听到过的最衷心的赞扬。
丹尼尔和尼古拉·伯努利是莱昂哈德·欧拉的好友，他们意识到数学家中的最杰出者正在变为神学家中的最平庸者。他们向保罗·欧拉呼吁，请求他允许莱昂哈德放弃教士的职务而选择数学。老欧拉过去曾经向老伯努利（即雅各布·伯努利）学习过数学，对这个家族怀有特殊的敬意，尽管有点勉强，他还是接受了他的儿子注定是从事计算，而不是布道的看法。
莱昂哈德·欧拉不久就离开瑞士前往柏林和圣彼得堡的宫廷，在那里度过了他硕果累累的大部分岁月。在费马的时代，数学家被看成业余玩数字把戏的人；但是到了18世纪，他们已被作为职业解题者对待。数的文化已显着地发生了变化，这种变化一部分是由艾萨克·牛顿爵士和他的科学计算引起的。
牛顿认为数学家们正在把他们的时间浪费在以无意义的谜语互相逗趣上。与之相反，他要将数学应用于物理世界，计算出从行星轨道到炮弹飞行轨迹等各种问题。到1727年牛顿去世时，欧洲已经经历了一场科学革命，在同一年，欧拉发表了他的第一篇论文。虽然这篇论文包含了精妙的、创新的数学，但其主要目的还是解决涉及船桅定位的技术问题。
欧洲的当权者对于用数学来揭示只有内行才懂的抽象概念不感兴趣；相反，81他们需要利用数学来解决实际问题，他们竞相聘用最好的学者。欧拉在俄国沙皇那里开始了他的专业生涯，随后应普鲁士的腓特烈大帝普鲁士国王，公元1740-1786在位。——译者的邀请到了柏林科学院。最终他又回到俄国，当时正是俄国女皇叶卡捷琳娜二世统治期间公元1762-1796在位。——译者，在那里他度过了最后的岁月。在他的科学生涯中，他曾处理过包括从航海到财政，从声学到灌溉等各种各样的问题。参与解决实际问题并没有使欧拉的数学才能减弱，相反，每着手处理一个新任务总会激励欧拉去创造新颖的、巧妙的数学。他的专心致志的热情驱使他一天写几篇论文。据说，即使是在第一次与第二次叫他吃饭的间隔中，他也会力图赶完可以发表的完整的计算结果。一刻都不会被浪费，甚至当他一手抱着小孩时也会用另一只手去写证明。欧拉最重要的成就之一是对理论计算方法的发展。欧拉的计算方法适合于处理那些看上去是不可能解决的问题。这类问题之一是高精度地预报月球在未来长时间中的位相——这些资料可用于拟订极其重要的航海表。牛顿已经证明，预测一个星球围绕另一个星球运行的轨道是比较容易的，但对月球而言情况就不是这么简单。月球绕地球运行，可是还有第三个星球——太阳，它使事情变得非常复杂。在地球和月亮互相吸引的同时，太阳会使地球的位置发生摄动，产生对月球轨道的撞击效应。可以用方程来确定其中任何两个星球之间的这种效果，但是18世纪的数学家们还不能够在他们的计算中对第三个星球的影响加以考虑。即使到今天，仍然不可能得到这个所谓的“三体问题”的精确解。
欧拉认识到航海者并不需要知道月球的绝对准确的位相，82而只需要有足够的精度使得他们能在几海里范围内确定自己的位置。结果，欧拉发展了一种方法，可以得到一个不完全的但充分准确的解。
这种方法，可称为一种算法，是首先求出一个粗糙但尚能使用的结果，然后将它反馈回算法中再产生一个更为精细的结果。然后，这个精细的结果再反馈回算法中产生一个更加准确的结果，如此反复进行。经过百次或更多的迭代以后，欧拉就能提供月球的位置，这个结果用于航海是足够准确的了。他将他的算法提交给英国海军部，后者奖给欧拉300英镑以表彰他的工作。
欧拉被誉为能解决任何难题的人，一个似乎超越了科学领域的天才。他在叶卡捷琳娜二世的宫廷逗留时，遇到了伟大的法国哲学家狄德罗（DenisDiderot）。狄德罗是坚定的无神论者，想花工夫将俄罗斯人转变为无神论者。这触怒了叶卡捷琳娜，她请欧拉终止这个无神论的法国佬的企图。
欧拉对此事想了一下，然后宣称他对上帝的存在有了一个代数的证明。叶卡捷琳娜二世邀请欧拉和狄德罗来到皇宫，并召集她的朝臣们一起来听这场神学辩论。欧拉站在听众面前宣布：
“先生，a+bnn=x，因此上帝存在；请回答！”
由于对代数不很懂，狄德罗无法与这位欧洲最伟大的数学家争辩，他一言不发地离开了。83由于遭到羞辱，狄德罗离开了圣彼得堡，返回巴黎。狄德罗走后，欧拉继续享受重返神学研究的乐趣，发表了几个其他关于上帝的本性和人的灵魂的模拟证明。
一个更为实在的、也适合欧拉异想天开的本性的问题与普鲁士城市柯尼斯堡（Knigsberg）有关，该地现为俄罗斯的加里宁格勒市。这个城市建立在普雷格尔河边上，由4个分离的、被7座桥连接起来的地区组成。图7显示了该城的布局。有些非常好奇的居民在想：是否可能设计一次旅行，穿越所有的7座桥却无须重复走过任何一座桥？84柯尼斯堡的居民试了各种各样的路线，但每一次都失败了。欧拉也未能找到一条成功的路线，但他却成功地解释了为什么这样的旅行是不可能的。
欧拉从这座城市的平面图着手，画出一张它的简化表示图，其中陆地部分被简化成点，而桥则用线来代替，如图8所示。然后他论证道，一般地为了进行一次成功的旅行（即通过所有的桥仅仅一次），一个点应该连接着偶数条线。这是因为在旅行中当旅行者通过一块陆地时，他必须沿一座桥进入，然后沿不同的桥离开。这个规则只有两个例外情况——即旅行者开始或者结束时。在旅行开始时，旅行者离开一块陆地，仅仅需要一座桥给他离开；而在旅行结束时，旅行者到达一块陆地，也仅仅需要一座桥给他进入。如果旅行开始和结束于不同的位置，那么这两块陆地可以允许有奇数座桥。85但是如果旅行开始和结束于同一个地方，那么这个点（与所有其他的点一样）必须有偶数座桥。
因此，一般来说，欧拉的结论是，对任何桥网络，如果所有的陆地块都有偶数座桥，或者恰好有两个陆地块有奇数座桥，那么才有可能越过每座桥仅仅一次的完全的旅行。在柯尼斯堡的情形中，总共有4块陆地，它们都连接着奇数座桥——3个点连接有3座桥，1个点有5座桥。欧拉解释了不可能穿越每一座柯尼斯堡桥一次且仅仅一次的原因，他还提出一个法则，这个法则可以应用于世界上任何城市的任何桥网络。他的论证绝妙而简单，或许这还正是他饭前赶写完成的那一类逻辑问题。
柯尼斯堡桥游戏是应用数学中所谓的网络问题，但是它激励欧拉去考虑更为抽象的网络。他继续发现了一条关于所有的网络的基本定理，即所谓的网络公式，而且他只要经过很少的几步逻辑推理就能证明这个定理。网络公式表达了描述网络的3个数之间的一个永恒的关系式：
V+R-L=1，其中V=网络中顶点（即交点）的个数，L=网络中连线的个数，R=网络中区域（即围成的部分）的个数。
欧拉宣称：对任何网络，将顶点和区域的个数加起来并减去连线的个数，其结果将总等于1。86例如，图9中的网络服从这个法则。
图9所有可想象的网络都服从欧拉的网络公式。
可以设想用一大堆网络去测试这个公式，如果每一次的结果都是对的，那么这就会诱导人们承认这个公式对一切网络都是对的。虽然对于科学理论来说，这样可能已经算是有足够的证据了，但是它对于确认一条数学定理的正确性来说还是不充分的。证明这公式对每一个可能的网络都成立的唯一方法是，构造一个十分简单明了的论证，这恰恰是欧拉所做的事情。
欧拉从考察所有网络中最简单的网络，即从如图10（a）中所示的单点开始着手。对于这个网络，公式显然是对的：存在1个顶点，没有连线和区域，因而V+R-L=1+0-0=1。
然后，欧拉考虑如果他对这个最简单的网络加上一些东西，那么会发生什么事情。将这个单点扩充就需要增加一条线。87这条线可以将已有的顶点与自己连接，或者它可以将已有的顶点与另一个新的顶点连接。
首先，让我们看一下用这条增加的线将顶点与它自己连接的情形。如图10（b）所示，当增加这条线后，这就生成了一个新的区域。于是网络公式仍然是对的，因为增加的区域（+1）抵消了增加的连线（-1）。如果以这种方式增加更多的连线，那么公式将仍然是对的，因为每一条新的连线会制造一个新的区域。
图10欧拉先证明他的网络公式对最简单的网络是对的，然后再证明不管对这个单点网络如何扩充，这个公式仍然是对的。这样就证明了他的网络公式。
其次，88让我们看一下用这条增加的线将原来的顶点与一个新的顶点连接起来的情形，如图10（c）所示。再一次，网络公式仍然是对的，因为增加的顶点（+1）抵消了增加的连线（-1）。如果以这种方式增加更多的连线，网络公式将仍然是对的，因为每一条新的连线会制造一个新的顶点。
这就是欧拉为证明他的公式所需要的一切。他论证了网络公式对所有网络中最简单的一种——单点网络是对的。进一步说，所有其他的网络，不管如何复杂，总能通过从最简单的网络出发每次增加一条连线构造而得。而每增加一条新的连线时，网络公式仍然是对的，因为这样总会增加一个新的顶点或者一个新的区域，从而产生补偿效果。欧拉发展了一个简单但管用的策略。他证明这个公式对最基本的网络即单点网络是对的，然后他证明任何使这个网络复杂起来的操作将继续保持这个公式的正确性。于是，这个公式对一切可能的网络都是对的。当欧拉第一次碰到费马大定理时，想必他曾希望过他能采用类似的策略来解决它。费马大定理和网络公式来自于数学中非常不同的领域，但是它们有一点是相同的，即它们叙述的都是关于无穷多个对象成立的某件事。网络公式说，对现存的无穷多个网络，其顶点和区域的总数减去连线的个数总等于1；费马大定理则宣称，对无穷多个方程，它们都没有任何整数解。我们回想一下，费马说下列方程没有任何整数解：
