赵世延是按竺迩家族中职位最高的人，官至中书平章政事。按竺迩孙、赵国宝之子。元世祖中统元年（1260）生于礼店，元顺帝至元二年（1336）卒于成都，享年七十七岁。
赵世延，字子敦，天资秀发，幼喜读书，潜心儒者体用之学。据《元史·赵世延传》载，弱冠即被世祖召入枢密院御史台“肄习官政”。元世祖至元二十一年（1284）授承事郎云南诸路提刑按察司判官，时年24岁。至元二十六年（1289）擢监察御史，时年29岁。与同僚联名弹劾丞相桑哥不法，奏章被桑哥同党、中丞赵国辅所压，同僚被桑哥排挤出朝，赵世延得以幸免。至元二十九年（1292），转奉议大夫，出任江南湖北道肃政廉访司事，时年31岁。任职期间，敦儒学，立义仓，撤淫祠，修河堤，抑豪强，颇有善政，郡内晏然。成宗大德三年（1299），移中台都事，不久，又任山东肃政廉访副使。1302年改任江南行台治书侍御史。1306年迁任安西路总管。安西路乃故京兆省台所治，号称“会府”，前政壅滞，积案达3000牍，赵世延上任不到三月即将积累全部结案完毕。逢陕西发生饥荒，省台议请上奏朝廷要求赈济，赵世延说：“救荒如救火，愿先发仓以赈，朝廷设不允，世延当倾家财若身以偿。”遂发仓赈灾，救活者甚多。元武宗至大元年（1308）改任四川肃政廉访使，时年46岁。任内除积弊，修都江堰，吏民称颂。
仁宗皇庆二年（1313）拜江浙行省参知政事，旋又奉召拜侍御史。朝廷起用汉族名儒，有人以赵世延为汉人而推荐之：“比奉诏，汉人参政用儒者，赵世延其人也。”仁宗说：“世延诚可用，然雍古氏，非汉人，其署居右。”遂拜为中书参知政事，不久，又迁为御史中丞。上任时，省臣自平章以下官吏皆来相送，其声势场面前所未有，遭忌后以皇太后名义将世延贬出朝廷，出任云南行省右丞。赵世延向仁宗皇帝辞行时方被察觉，仍下诏任其为御史中丞。
仁宗延祐三年（1316），赵世延等劾奏权臣右丞相帖木迭儿罪十三条，请以斩首。帖木迭儿藏于太后兴圣宫近侍家，仁宗恐伤太后，诏夺其职，并升赵世延为翰林学士承旨兼御史中丞，赵世延力辞不就。仁宗延祐五年（1318），进职光禄大夫、昭文馆学士、宋大都留守乞补，拜四川行省平章政事。赵世延即议在重庆路立屯田，择江津、巴县一带闲田783亩，召军士1200余人垦种，当年就获粟11700石。延祐七年（1320），仁宗驾崩，英宗即位，帖木迭儿复任中书右丞，指使同党何志道给赵世延罗织罪名，何志道诱使赵世延从弟胥益儿哈呼诬告赵世延，将赵世延收狱等待对质。其从弟逃走，英宗下诏赦免赵世延。英宗立律曰：“逃者百日不出，则释放等待对质者。”帖木迭儿又罗织赵世延罪名，再次逮赵世延入狱，逼赵世延自裁，赵世延拒不认罪，待在狱中不出来。中书左丞为赵世延辩冤。英宗对侍臣说：“赵世延，先帝所尊礼，帖木迭儿妄入其罪，数请诛之，此殆报私怨耳，朕岂能从之。”赵世延再次获释，出居金陵。
帖木迭儿蛮横专权，其同党铁失、锁南等人，与同年秋谋杀了英宗。晋王之孙铁木儿即位，起用曾受帖木迭儿迫害的官员。赵世延出为江南行台御史中丞。泰定四年（1327）奉旨昭雪，入朝为御史中丞，相继任中书右丞、翰林学士承旨、光禄大夫，兼知经筵事、同知枢密院事等职。
1328年，泰定帝崩，赵世延以拥立文宗之功，加授集贤大学士、奎章阁大学士、中书平章政事等职，因年高多疾，文宗还特许其可乘小车入朝。
至顺元年（1330）二月，文宗诏令赵世延与国史院编修官虞集等人纂修经世大典。赵世延以年高多疾请求解除中书政务，专意修典。文宗以其德高望重不允，说：“老臣如卿者无几，求退之言后勿复陈。”大典于四月开局，次年五月修成，凡880卷，略12卷，公牍1卷，纂修通议1卷。赵世延再次上奏请退。顺帝元统二年（1334），赐赵世延钱四万缗。顺帝至元二年（1336）五月，赵世炎回成都，同年十一月卒于成都。死后赠世忠执法佐运翊亮功臣、太保、金紫光禄大夫、上柱国，追封鲁国公，谥文忠。《元史·赵世延传》赞之曰：“世延功事凡九朝，历省台五十余年，负经济之责，而将之以忠义，守之以清介，饰之以文学，凡军国利病，生民休戚，知无不言，而于儒者名教尤拳拳焉。”
赵世延生子5人，达者3人。野峻台，曾任四川行省参政、西行台监察御史、河西廉访副使转黄州路总管。正值黄巾起义，野峻台与平章咬住，奉命征讨义军。顺帝至正十一年（1351），咬住令野峻台为先锋，攻打红巾军据守的巴东县城，又继攻枝江、松滋二县，围攻江陵，在夺取清水门的战斗中，中刺身死。朝廷追赠荣禄大夫、陕西行省平章政事、柱国，封凉国公，谥忠壮。野峻台的书法艺术为后人所崇，礼县留有三方由他书写的碑文。月鲁，官江浙行省理问。伯忽，夔州路总管，天历初，囊加台据蜀叛，死于难，特赠推忠秉义孝节功臣、资善大夫、中书右丞、上护军，追封蜀郡公，谥忠悯。
