命题1的证明
比较4.13和4.14可以看出，假设在三种情况下B都能成立，则终极控制人肯定选择平行结构控制公司B，并且使α≤βH（在我们假设的转移成本条件下，βH可以取[α，1]间的任何值），在此情况下，由于终极控制人在B中的现金流权大于（等于）在A中的现金流权，因此其将转移部分A的财富到B，A的其他股东受损。1）证毕。
如果4.16式不成立，则在α≤βH时平行结构不能建立，我们看4.15式。由4.15式可得，在2（1-d）RB＞i时，平行结构优于金字塔结构。
在2（1-d）RBi时，平行结构与金字塔结构无差异。在2（1-d）RB≥i的情况下，约束条件4.17、4.18自然满足（在我们假设的转移成本条件下，水平控制权结构下βH可以取[0，α]间的任意值，金字塔结构下βP可以取[0，1]间的任意值）。2）中（1）和（2）证毕。
在2（1-d）RB＜i时，则如果B公司能够建立，终极控制人必然会选择金字塔结构对其进行控制。但B公司能成立的条件还需要4.18式得到满足。（在我们假设的转移成本条件下，金字塔结构下βP的取值下限为0）。2）中（3）和（4）证毕。
由于αRA 2（1-α）[RB dRA]＜i时，不管平行结构或金字塔结构成立，终极控制人在B公司的现金流权都小于在A公司的现金流权，终极控制人将转移B公司的部分财富到A公司，转移财富会使A公司的其他股东受益。2）中（5）证毕。
命题2的证明
从4.40和4.41我们可以看出，只要在α≤βH时B公司能够成立，则终极控制人必将选择平行结构并使α≤βH。在α≤βH时，平行结构能否成立的条件依赖于M和dRA α（1-d）RA之间的大小。因此，我们分M≤dRA α（1-d）RA和M＞dRA α（1-d）RA两种情况进行讨论。
当M≤dRA α（1-d）RA时，
如果αRA-i （1-α）[（2-ρ）RB 2dRA]≥0，则α≤βH时平行结构可以建立。此时由于α≤βH，终极控制人必将转移A公司的财富到公司B，因此，B公司的成立必将导致A公司的其他股东受损。1）证毕。
如果αRA-i （1-α）[（2-ρ）RB 2dRA]＜0，则α≤βH时平行结构不能建立。我们需要对α＞βH时的平行结构和金字塔结构进行比较。
4.42中M≤dRA时，终极控制人将从A公司转移M
d'RA的资金到B公司。此时，如果（2-ρ）（1-d）RB＞i，则平行结构较金字塔结构终极控制人能获得更多的收益。同时RH1，M≤dRA α（1-d）RA自然满足，因此平行结构可以建立。（1）中的①证毕。如果（2-ρ）（1-d）RB
i，平行结构和金字塔结构收益相同。同时RH1，M≤dRA α（1-d）RA和RP1，M≤RA自然满足，平行结构和金字塔结构都能够成立。因此（1）中的②证毕。当（2-ρ）（1-d）RB＜i时，金字塔结构的收益大于平行结构的收益。要使金字塔结构成立，还需满足4.38式，因此（1）中的③证毕。当4.38不能满足时，B公司不能成立，（1）中的④证毕。
4.42中M＞dRA时，终极控制人将从A公司转移dRA的资金到B公司。此时，如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）＞0，则平行结构下终极控制人能获得更多的收益。同时由于αRA-i （2-ρ）（1-d）RB＞ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM），RH1，M≤dRA α（1-d）RA自然满足，因此平行结构可以建立。（2）中的①证毕。如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）
0，平行结构和金字塔结构收益相同。同时RH1，M≤dRA α（1-d）RA和RP1，M≤RA自然满足，平行结构和金字塔结构都能够成立。因此（2）中的②证毕。如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）＜0，金字塔结构的收益大于平行结构的收益。要使金字塔结构成立，还需满足RP1，M≤RARA （2-ρ）（1-d）RB≥i，因此（2）中的③证毕。如果RA （2-ρ）（1-d）RB-i＜0时，B公司不能成立，（2）中的④证毕。M＞dRA α（1-d）RA时，如果αRA-i （2-ρ）（1-α）（RB dRA） [ρ （1-ρ）α][α（1-d）RA dRA-M]≥0，则α≤βH时平行结构可以建立。此时由于α≤βH，终极控制人必将转移A公司的财富到公司B，因此，B公司的成立必将导致A公司的其他股东受损。1）证毕。
如果αRA-i （2-ρ）（1-α）（RB dRA） [ρ （1-ρ）α][α（1-d）RA dRA-M]＜0，则α≤βH时平行结构不能建立。我们需要对α＞βH时的平行结构和金字塔结构进行比较。
4.42中，终极控制人将从A公司转移dRA的资金到B公司。如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）＞0，则平行结构较金字塔结构终极控制人能获得更多的收益。同时4.32式自然满足。因此平行结构可以建立。2）中的（1）证毕。如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）
0，平行结构和金字塔结构收益相同。同时4.32自然满足，平行结构可以建立。金字塔结构能否成立需要看4.38或者4.39（具体满足哪个条件需要比较M和RA的大小）是否满足，但由于4.38和4.39都自然成立，因此金字塔结构肯定可以建立。所以2）中的（2）证毕。如果ρdRA （2-ρ）（1-d）RB-（i ρM）＜0，金字塔结构的收益大于平行结构的收益。但金字塔结构下B公司能否成立还需要看4.38或者4.39（具体满足哪个条件需要比较M和RA的大小）是否满足，在满足4.38或者4.39的条件下，B公司可以成立。否则，B公司由于融资约束不能成立，2）中的（3）证毕。
命题3的证明
由于当（1-α）[2RB （2-θ）dRA）]≥i时，在α≤βH情况下，终极控制人在1时刻不用A公司的资金就能建立B公司。终极控制人在1时刻理性的决策是尽量多的保留A公司的资金以便2时刻进行自救。由N＜RA可得，在此种情况下，终极控制人1时刻可以保留足够的资金使2时刻A公司进行自救而不会转移B公司的资金。即在此情况下，d″
0，将d″
0代入4.53和4.55式可得，4.53和4.55必定大于零。因此，在此种情况下，平行结构一定被选择。由于α≤βH，B公司建立后终极控制人必定会转移A公司的资金，因此A公司的其他股东必将受损。1）证毕。
当αRA （1-α）[2RB （2-θ）dRA]＜i时，由于在α≤βH时，10'式左边RHI1 （1-βH）[（2-θ）RB （2-θ）dRA θ（1-d″）RB]
≤RHI1 （1-α）[（2-θ）RB （2-θ）dRA θ（1-d″）RB]
≤αRA （1-α）[（2-θ）RB （2-θ）dRA θ（1-d″）RB]
＜αRA （1-α）[2RB （2-θ）dRA]＜i，
因此，10'式不能满足，α≤βH时平行结构下B公司不能够成立。我们需要比较α＞βH时的平行结构和金字塔结构。当2（1-d）RB＞i时，表明终极控制人在1时刻不用A公司的资金就能建立B公司。终极控制人在1时刻理性的决策是尽量多的保留A公司的资金以便2时刻进行自救。由N＜RA可得，在此种情况下，终极控制人1时刻可以保留足够的资金使2时刻A公司进行自救而不会转移B公司的资金。即在此情况下，RH'I20，将此代入4.54式，我们可知此时平行结构优于金字塔结构。
2）中（1）证毕。当2（1-d）RB
i时，RH'I2还等于0（理由同上），因此平行结构和金字塔结构的收益相同。
当2（1-d）RBi时，RP1和RP2一定满足。因此此种情况下平行结构和金字塔结构无差异。2）中（2）证毕。当2（1-d）RB＜i时，金字塔结构的支付大于平行结构，要使金字塔结构下B公司能够成立，必须满足RP1和RP2.2）中（3）证毕。不论平行结构下还是金字塔结构下，由于终极控制人总会转移B公司的资金，因此不论何种结构下A公司的其他股东将受益。
在（1-α）[2RB （2-θ）dRA）]＜i≤αRA （1-α）[2RB （2-θ）dRA）]时，由于约束条件的非单调性，不假设特定数据的情况下，讨论较为困难，因此我们此处省略讨论。但我们能够知道其选择何种结构是状态依存的。中国民营上市公司金字塔结构成因及经济后果。
