登陆注册
35184000000020

第20章 梯形与正方形

梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。梯形(t****zium)是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边,一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯形(isoscelest****zium)。等腰梯形是一种特殊的梯形,其判定方法与等腰三角形判定方法类似。

基本信息

中文名:梯形

英文名:t****zium

学科:数学

特点:只有一组对边平行

特例:等腰梯形

概念

梯形(t****zium)是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边,其中长边叫下底,短边

正在加载梯形

叫上底;也可以单纯的认为上面的一条叫上底,下面一条叫下底。不平行的两边叫腰;夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

分类

一腰垂直于底的梯形叫直角梯形,

两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形的性质

1.等腰梯形的两条腰相等

2.等腰梯形在同一底上的两个底角相等

3.等腰梯形的两条对角线相等

4.等腰梯形是轴对称图形,对称轴是上下底中点的连线所在直线

5.等腰梯形(这个非等腰梯形同理)的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)等于上下底和的二分之一注意:在有些情况下,梯形的上下底以长短区分,而不是按位置确定的,把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。

判定

1.一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形(一组对边平行且不相等的四边形是梯形)

2.两腰相等的梯形是等腰梯形

3.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

4.有一个内角是直角的梯形是直角梯形

5.对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形的中位线等于上底加下底和的一半,且平行于上底和下底。

正在加载梯形

周长、面积

梯形的面积公式

:(上底+下底)×高÷2。

等腰梯形面积公式

:中位线×高用字母表示:(a+b)×h÷2或l·h周长

梯形的周长公式

:上底+下底+腰+腰用字母表示:a+b+c+d

等腰梯形的周长公式

:上底+下底+2腰用字母表示:a+b+2c

对角线互相垂直的梯形

:对角线×对角线÷2

、如图(6),在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面积是49cm2.求梯形的高。

解法1:如图(甲),过A作AE∥DB交CB的延长线于点E。

∵AC⊥BD,

图(6)∴AC⊥AE.

∵AD∥EB,

∴AE=BD,EB=AD.

又∵四边形ABCD是等腰梯形,

正在加载梯形

∴AC=BD.

∴AE=AC.

∴△AEC是等腰直角三角形.

又AF是斜边上的高,故AF也为斜边上的中线.

∴AF=7cm

解法2:设梯形ABCD的两条对角线相交于O点,过O作OH⊥BC于点H,延长HO交AD于G点(如图(乙)).

∵AD∥BC,

∴HG⊥AD.

∵AB=DC,AC=DB,BC公共,

∴△ABC≌△DCB.

∴∠2=∠1.

又∵AC⊥BD,

∴△BOC是等腰直角三角形.

∴同理.

∴以下解答过程与解法1相同.

解法3:过D作DM⊥BC于点M(如图(丙)).

∵梯形ABCD是等腰梯形,

∴AC=DB,∠ABC=∠DCB.

又∵AF=DM,

∴Rt△AFC≌Rt△DMB,

∴∠DBC=∠ACB.

又∵AC⊥BD,

∴∠DBM=∠ACF=45°.

∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC,DM=MB,

∴.以下解答过程与解法1相同.

点评:本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长.因此,在等腰梯形中,若两条对角线垂直,则这个梯形的高就等于中位线的长,梯形的面积就等于高的平方.

如图(7),在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且AE=GF=GC.

(1)求证四边形AEFG是平行四边形;

(2)当∠FGC=2∠EFB时,求证四边形AEFG是矩形.

分析:本题考查有关三角形、四边形的综合证明.涉及到等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等.在解答过程中要注意证明格式、推理方式的规范化.

证明:(1)∵在梯形ABCD中,AB=DC,

∴∠B=∠C.

∵GF=GC,∴∠C=∠GFC,

∴∠B=∠GFC

∴AB//GF,即AE//GF.

又∵AE=GF

∴四边形AEFG是平行四边形.图(7)

(2)解:过点G作GH⊥FC,垂足为H.

∵GF=GC,

∴∠FGH=1/2∠FGC.

∵∠FGC=2∠EFB

∴∠FGH=∠EFB.

∵∠FGH+∠GFH=90°

∴∠EFB+∠GFH=90°

∴∠EFG=90°

∵四边形AEFG是平行四边形,

∴四边形AEFG是矩形.

备注

:梯形的底角可以指梯形中任意一个角,所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。……

正方形,是指有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形是具有四条相等的边和四个相等内角组合成的多边形。有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。有一个角是90°的菱形叫做正方形。内角:四个角都是90°。两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直。对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角。

基本信息

中文名:正方形

其他外文名:square

别称:(特殊的长方形)正四边形

应用学科:科技教育

适用领域范围:教学,建筑,会计

拼音:zhèngfāngxíng

定义

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

性质

正在加载正方形

边两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直。

内角四个角都是90°。

对角线对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角。

对称性既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。

特殊性质正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

其他性质1正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性

其他性质2在正方形里面画一个最大的圆,该圆的面积约是正方形面积的78.5%;正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。

其他性质3正方形是特殊的矩形。

其他性质4正方形也是矩形的一种。

判定定理

1:对角线相等的菱形是正方形。

2:有一个角为直角的菱形是正方形。

3:对角线互相垂直的矩形是正方形。

4:一组邻边相等的矩形是正方形。

5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7:对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

计算公式

若S为正方形的面积,C为正方形的周长,a为正方形的边长,v为正方形的对角线,则:

正方形周长计算公式:边长×4

正方形面积计算公式:边长×边长

正方形对角线计算公式:V=a√2(即边长乘以2的平方根,或2a?的平方根)

同类推荐
  • 酒剑轮回

    酒剑轮回

    无烦恼,身世却迷惘,无烦扰,形影只伶仃。繁华劲竹非二景,轻霭烟霞是同形。日日复重重,落叶随旧风。穿肠酒,须尽兴,逍遥剑,任我行。轮回圆转分六道,生死沉浮合三生。缥缈九天影,潇洒尘缘中。
  • 九玄至尊

    九玄至尊

    失落的林凡因得到九玄佩而出现转机,不仅天赋惊人,更是拥有阴阳画师作为第二身份,修炼、赚钱、地位,三不误。且看得到了九玄佩的林凡如何踏入九玄大陆的巅峰!(开窍、魂徒、魂师、大魂师、魂宗、魂尊、魂帝、魂圣、魂皇、封号至尊)※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※已有142万字完本老书,人品坚挺,请放心收藏。
  • 天运逍遥

    天运逍遥

    三千大道,条条通天道!废柴易遥寻死,意外发现自己的身体的秘密,此后观察力领悟力直上云霄,强势崛起。热血激情的对决,天才与天才的碰撞,一切尽在天运逍遥……
  • 无敌从打爆一切开始

    无敌从打爆一切开始

    恐怖游戏骨灰级玩家,林恶,穿越到了妖魔遍地、诡异纵横的凶险世界,当他抄起拳头、提起兴趣,准备打通这个世界时,却突然发现,穿越前的游戏面板,居然也跟着他一起过来,于是,一切都变得简单起来。“你击杀了虚灵怨念,获得3点精意值,你选择学习解牛刀法,你的解牛刀法升到了MAX等级,从此怪异们明白了,什么叫功夫再高,也怕菜刀……”“你击杀了地缚泥傀,并捡到怪物掉落的陶土,你用陶土捏了个小人,从此你多了个怪异小弟,冲锋陷阵……”“你击杀了嗜血皮蓬,并将它的尸体裁成披风,从此英雄象征加身,亮瞎所有怪异钛合金狗眼……”……不经意间,林恶发现,击杀无数怪异的他,随手即可镇压一切,一拳便能破灭万物,任何妖魔鬼怪,都挡不住他一击之威!他即是无敌!
  • 永恒战帝

    永恒战帝

    一个怀着血海深仇的少年,家人尽去。以一介半废之体,历经艰险,寻得机缘,血战皇都,报仇血恨......最强神术、人族大劫、永恒之界......且看永恒战帝武冲,逆战苍穹,破灭世界,遨游混沌!
热门推荐
  • 复仇公主的樱花之泪

    复仇公主的樱花之泪

    【1v1双宠+复仇+杀手,甜虐参半,玛丽苏】十年前,初遇他时,满身血迹,是她,化解了他心中万年不变的寒冰,却阴差阳错失散多年。十年后,一个成长为冰冷孤傲的冷殿下,一个被赋予了双重人格,两个人开始了截然不同的人生。一次阴谋,他丧失了记忆,智商退化到八岁,因一次露水情缘被她救下,孤寂冷傲的他却化身为小奶猫始终缠在她的身边。夜幕时分,他眯眼扣住她的下颚,妖异万分:“这一次,你别想跑。”某女的五指轻轻附上他的眼,昏黄的灯光映着她绝美的容颜,笑意盈盈:“长夜漫漫,你猜我会做什么?”接着,她附身翻转欺压在上,妖艳的红唇微勾,隐藏的笑意将她更显魅惑。
  • 黎殇樱落

    黎殇樱落

    她是夜冥国最尊贵的皇后娘娘,是两任皇帝宠爱入骨的人。世人皆只看到她荣宠无双,却从不知她内心苦楚。他仍是不愿放她离开,于是她一把匕首送入自己心口,血流如注,让顾南黎面色惨白。“不,不要,小樱不要。”男子惊慌失措,满面惊恐。“南黎哥哥,永别了。”绝色女子微笑道,眼底满是释然。……
  • 娱乐之正能量系统

    娱乐之正能量系统

    经历过二次穿越的林洛,获得了超长开机的系统,【娱乐正能量系统】记者:洛神,你的粉丝说你是个妹控,这是真的吗?林洛:污蔑,不是我,我没有,别瞎说。洛家军:吁~我信你个鬼,你个糟老头子坏的很记者:你对“正能量”收获者有什么要说的?林洛:尽管旅途遥远,但是未来可期,加油!奥利给!(那里写的不好的请提出来,作者会吸取建议)
  • 蛮荒兽屠

    蛮荒兽屠

    上古世纪,众神降临,不仅带来了大陆的生灵涂炭,还有那自“庭院”中对于“源”的修炼。源大陆的毁灭,记忆碎片的缺失。谁能找寻完成碎片重现大陆辉煌,登上那“庭院”王座,结束这几千年的纷争。
  • 仙魔传之水神

    仙魔传之水神

    天地灭亡,世间万物难逃一劫,十大神剑,永恒品质,纷纷散落在各地,麒麟一心修仙,却踏入爱情境界,为了她,什么都可以放弃,雅琴中毒,坠入魔道。仙魔大战,从此开始。
  • 天行

    天行

    号称“北辰骑神”的天才玩家以自创的“牧马冲锋流”战术击败了国服第一弓手北冥雪,被誉为天纵战榜第一骑士的他,却受到小人排挤,最终离开了效力已久的银狐俱乐部。是沉沦,还是再次崛起?恰逢其时,月恒集团第四款游戏“天行”正式上线,虚拟世界再起风云!
  • 快穿之大大的任务日常

    快穿之大大的任务日常

    在茫茫人海中,总有几个倒霉催的娃子被可怕的系统选中去做什么任务。而笙汐认为自己就是那个倒霉催的娃子。系统小粒【到底谁是倒霉催的娃子,谁是可怕的系统!大大你给我搞清楚啊啊啊!】笙汐无奈表示:你选择了我,我选择了你,这是我们的选择。小粒【额,我居然神奇般的唱出来了!不管了,我们的宗旨是——做个好人!做个好人!做个好人!!】笙汐:请问第三个做个好人为什么要加两个感叹号?小粒【为加强大大你的印象啊。】往后,笙汐为做个好人这个目标不断地越走越偏,最后还惹上了一只小锦鲤。小锦鲤:汐汐不哭,哥哥抱抱。笙汐:擦!好撩!【1v1男女主双洁。男主楼暮,女主笙汐。】
  • 穿到古代选美男

    穿到古代选美男

    一穿为妃,妖魅惑人,靠!极品皇帝竟是个大色鬼,丫丫的,这样的男人难道要守他一辈子吗?哇塞,俊逸王爷很痴情,江湖冷血杀手是极品,还有威武将军是猛男,吼吼。去他妈的皇宫吧!江湖才是我首选,来趟古代不容易,怎么说也得捞几个极品吧!哈哈,帅哥,极品,酷哥,美男,任我选!哈哈,好多啊!果然个个儿是极品,哇哈哈,这桃花运来了,可是挡也挡不住!
  • 未央天下

    未央天下

    我的一生瞬息万变,我的一生与你曾共誓盟言,你曾温暖了我灰烬般的岁月,也曾惊艳了我望尽真善丑恶的双眼,若非我是破国公主,若非你是他国质子,这样的爱何用白骨支天逆命而为,然而我遇到了你,承受了命......所以我敢同你问鼎天下,所以我敢与你问爱天涯......
  • 从巨人开始的无限试炼

    从巨人开始的无限试炼

    来自死之竞技场的征召可以让本应死亡的人获得一次新的机会,不过代价就是成为竞技场的一员。“献出心脏”“虽然是游戏,但可不是闹着玩的”“这就是我的忍道”......在这些试炼世界的背后,迎接夏天的还有更加残酷的竞技....欢迎来到死之竞技场