1843？？？？
由计算可知，最后结果是000171，有三位有效数，与有效数字位数最少的000135的数位相同。
(2)初等函数在中学物理实验中，碰到的初等函数有：n次幂、开n几次方、对数和三角函数等。的有效数字位数多数与自变量位数相同(可利用微分的方法推出)。
例如y=3432=118，y=5832=2415，y=ln3435=1234，y=log2343=ln343ln2=12306931=177y=cos253。=0904。
说明：
当Y=x2时，dy=2xdx，dx和dy就是X和Y的化整误差。因为x=343，dx=0005，所以dy=2×343×0005=0034，由此可知，y的化整误差到百分位，因此，y应该取到小数后第一位即可，故取y=118，它与自变量x的位数相同。
当y=X时，dy=12x-12dx，因为x=5832，dx=00005，所以dy=00001，同理，y取到小数后第三位，故y=2415又与自变量x的有效数字位数相同。
当y=lnx时，dy=lxdx，由于x=3435，dx=00005，因此，dy=0000146，所以y取到小数后第三位，y=1234，同样跟自变量x的位数相同。
在log2343中，利用换底公式得到ln343ln2，分母中的2是常数，不是近似数，因此ln2的数字位数可根据需要来定，由于分子是三位数，取ln2=06931四位数(多取一位)，运算结果仍为三位数。
当y=cosx时，dy=sinx·dx计算误差时，只取其绝对值，因此不考虑符号。
，在三角函数计算时，角度都是以弧度为单位的，因此首先将度、分、秒化成十进制度，然后根据公式：度数×π180=弧度，化成弧度，最后算出误差值。
例如。上例中x=253°=253°×314180=0441弧度，dx=00005，因此dy=sin0441×00005=00002，故y取到小数后第三位，y=cos253°=cos0441=0904。
现运用有效数字的概念和运算法则，对冲击摆测弹丸速度的实验作分析。
在用冲击摆测弹丸速度的实验里，要求记下摆锤摆动的最大高度θ，测出悬绳的长度，即摆长l，根据h=l(1-cosθ)算出最大高度h，再用天平分别测出弹丸的质量m和摆锤的质量M，最后由公式v=M+mm2gh，求出弹丸的速度v。
为了便于讨论，将h式代入v式，并化简可以得到：
v=2(M+m)mgl·sinθ2。
根据有效数字运算法则可以知道，在直接量M、m、l和θ里，有效数位最少的量就是v测定里影响最大的量，应该设法提高这个量的测量精确度(即精确度)或者增加它的数值，前者是有效数位向右增加，后者是向左增加，方式相反，目的都是增加位数。采用前一种方法，即提高测量精确度，在实验里相互牵连较少，但实验难度增加，仪器和测量方法需要改进。采用后一种方法，即增加某个量的值，这必定牵连其他量，使某些量的值变小，减少了它的位数。
例如增大偏转角度θ，由(1)式可知，由于弹丸速度和质量不会改变，只有减小摆锤的质量或者减小冲击摆的摆长，采用上述两种方法，使最后得到的各直接量都有几乎相同的有效数位的实验条件，这样做出来的实验结果就比较精确。现通过实际计算再具体讨论如下：
常用的2136型冲击摆实验器的测量数据是：
m=80克，M=795克，l=270毫米，θmax=350°，角度最小分度为050°。
如果用这套仪器做实验时，由于其他种种偶然原因，例如摆动时有跳动、扭转现象，致使摆锤摆动角度只能读到度，如某次实验测得θ=5°。
则v=2M+mmglsinθ2，=280+88098×027×sin52=2×11×16×0044=15≈2(m/s)。
根据有效数字运算法则，因为θ只有一位数，所以v值只能有一位有效数字(因此，在计算时M、g、l均只取两位数。而m值，在分母中亦取两位；在分子中，因参与加减运算，按其法则只需取一位)。如果冲击摆实验器调整得较好，摆动角度的测量有效到(或精确到，或读到)110或510度，显然v也能有两位数。若再适当减小M值，使摆角值增大，而角度估计到05度，故θ可超过两位数，例如300°，而在M和m称衡时其保证三位数时，速度v可增加到三位数。
基于实际测量时，角度指针阻力大小不定，多次重复测量，θ波动较大，角度的有效数字只能取到度，如实测θ=25°；又由于弹丸进入摆锤后随着偏角的变化摆长有所改变(摆锤重心位置改变)，l值精确到毫米是毫无意义的，因此取l=027米；计算时，M也只需取两位数M=80克。
因此v=2M+mmglsinθ2=280+88098×027×sin252=2×110×163×0208=746。
最后取弹丸的速度v=75米/秒。
说明：
①在计算过程中，为了不致过多降低精确度，因此习惯于比规定的数位多一位数进行运算，例如99×027取163，sin252=sin12°=0208，最后v=7，46改为v=75米/秒，只能取两位数。
②为了提高弹丸速度的测量精确度，首先角度测量方法最好由接触式改为非接触式，可消除指针阻力的影响，提高角度测量的准确度，如果角度量度尺的最小分度值由05°提高到01°或者005°，v还可增加一位有效数字。其次增加摆长l，提高弹丸进入摆锤前后重心的一致性，增大弹丸的质量，减少摆锤的体积，其质量M可根据需要变动，这样△l还可较多地减小，达到增加一位有效数字的目的。
③本实验属于测量或计量性的实验，对测量结果没有准确性的论证，因此可能是错误结果。
有关实验结果准确性的论证，请参阅本讲座将作的线性回归分析部分。
附记可疑数的相乘试证明：两个可疑数相乘，结果也是可疑的；可疑数与准确数相乘其积的十位数是准确的，个位数是可疑的。
证明一：
令两个可疑数m和n，分别为一位数，则△m=0，5，△=05。
又(m)mi=m-049，(m)max=m+049，(n)mi=n-049，(u)max=u+049，因此(mn)mi=(m)mi(n)min=mn-049(m+n)+0492(mn)max=(m)max(n)maxmn+049(m+n)+0492△mn=12〔(mn)max-(mn)min〕=049(m-n)当m+n＞10时，△m＞5，因此十位数和个位数都是可疑的。
证明二：
令一个可疑数，一个准确数，都是一位数。
(m)min=m-049，(m)max=m+049，因此(mn)min=mn-049n，(mn)max=mn+049n，△mn=12〔mn+04n+mn+049n〕=049n由于△mn＜05，因此个位数是可疑的，十位数是准确的，证毕。
实验结果误差的几何描述法——作图
现在大家都注意到能力的培养。但是“能力指的是什么？又如何培养？”是当今经常谈论的棘手问题，本人认为能力有多种，但是善于观察实验现象、仔细分析实验教据是一种非常重要的实验能力之一。它有助于我们认识和接受新事物，总结和发现新规律，因此必须着意培养、持之以恒和反复实践。例如研究物理量间的关系，不仅要多次测量各物理量，还要考虑到变量的变动范围，它们的变化趋势和相互依赖关系。不是一次性的处理过程，而是需要多次，重复或者不重复的测量，对于大量的实验数据要进行有关的分析、加工处理，最后才能得到实验结论，为进一步理论研究和实际使用提供可靠的依据。作图就是一种非常重要并且用得很多的数据处理方法，特别在研究变量间的函数关系时能起到一目了然的作用，因为曲线能定量和形象地描述待测量间在有关区域内的相互关系，还可求出有关参数，用来估计和推测变化的趋势，预报变化的结果。如果变量间存在线性关系还可求出它们间的比例常数平均值，还可了解测量点的波动情况，可合理地剔除带有粗大误差的测量点。此外作出的曲线也有寻找最佳的实验条件，解方程求数值根等方面的功能。下面华东师范大学杨介信老师通过一些例子作了说明和讨论。
求比例常数的平均值
在用伏特计和安培计测量待测电阻值的实验里，如果测量到待测电阻Rx两端的电压V值和流过它的电流I值，则Rx可根据欧姆定律计算出来。由于V和I的测量都有误差，特别是电压表或者电流表在指示值附近恰好具有较大误差时，那么单次测量的结果往往使Rx带有较大的系统误差。不改变电压V和电流I值，即使进行多次重复测量也不会提高Rx的测量准确度。如果待测电阻是热敏电阻，其值随I的大小而变化，也需要取不同的V和I值进行测量，计算电阻值Rx，研究Rx随I的变化规律，从而确定对应某些规定的电流时的端电压值是否准确。
如果待测电阻Rx的阻值是个与端电压和流过电流无关的常量，只与它们间的比值相等，显然以V作自变量取为横坐标，I作因变量取为纵坐标，将实验数据(Vi、Ii)、i=1、2、…、n作图，作出的是一条过原点O的倾斜直线，直线的斜率倒数就是Rx值。表1中的数据是实验测量值经过一定处理后的作图数据，根据数据作出的曲线。
图中实线是根据许多测量点画出来的过重心线。所谓过重心线是一条直线不是折线，在该线的两侧均匀地分布着许多测量点。由于实验数据存在误差，因此在图中所标的测量点应该有一定的模糊区域，在该区域内的值都可以作为实验的测量值。图中的虚线就是各测量值模糊区域的宽度线，它根据大多数(即90%以上)的点在内的原则画出来的。一般由于模糊区域的大小不能确定，所以虚线就不能画出。图中(070、126)点已经超过大多数点的摆动范围，因此可以作为可疑点或者带有粗大误差的测量点。遇到这种情况应该再重新测量进行复核。往往在复核中可以纠正测量中的错误，如果复核中该值重现就应该更换其他相同类型的电压和电流表，在相同精确度的条件下运用代替法进行复测，最后总能找出原因或者发现新的规律。注意新规律和错误(或者故障)是不同的，前者与测量仪器和方法基本无关，后者经不起复测和测量仪器或者方法的变更。如果是规律性的影响还应该在测量点附近，例如在070±010(V)范围内进一步测量，分析原因，研究产生的结果。
根据图1中的直线可以求出I～V的斜率，其倒数就是待测电阻Rx值。为了得到尽可能多的有效数字的位数，取计算的V和I也应该有较多的数位，如取图中的AB=154mA，OB=090V，其中A点一定要在实践上，不能在虚线上。因此斜率的倒数Rx-1tga=OBAB=090154=584(Ω)。
注意：如果测量点的数目很少，不易发现带有粗差的测量值，反之则易。通常测量点都取10点以上，并且自变量不集中在某一值附近。
如果横坐标和纵坐标不是按照实验测量精度分度，那么可能由此而得到的有关结果与实际测量精度不相符合。如果由此而使精度提高则是不准确的，使精度降低则是对劳动成果的贬值。例如纵坐标电流读数的最小分度为02(mA)，而实验能达到的精度为01(mA)，说明最小分度的取值降低了一半的测量精度，虽然可在最小分度中估计一半，但会带来测量值和描点间的人为误差，为了避免这种误差的产生，人们习惯于实验上能精确测到的值(不包括估计位)，在作图纸的坐标格上也要能准确地找得到，不能在坐标格子间的估计位置出现。
如果作图的坐标纸取得很大，由于在坐标纸上读到的全部数据不都是有效的，因此会造成无效数字误为有效，依此去分析和研究会得到不准确的结果。如果测量精确度确实很高，取用的坐标纸为了表示较多位的有效数字，则其面积一定较大，则不能随意更改图纸大小或“因地制宜”地利用不合适的现有图纸作曲线，也不能自己用尺画方格坐标，因为方格的准确度对曲线有直接影响。鉴于坐标纸的面积有一定的限制，所以有效位数很多的(例如四位或者四位以上)作图应变更为用其他方法处理，如下节将要讨论的线性回归法，但是先取较少的有效数字作图，初步了解一下变量间相互依存的变化关系还是必要的，只有在此基础上运用解析法才会得到更准确的结果。
研究变量间的关系，求得有关参数
在物理教学中经常会遇到研究两个变量间的关系，如研究流过电阻的电流与电阻两端的电压间的关系。其中电流和电压即为两个变量。又如单摆的摆长与单摆振动的周期间的关系等都是属于二个变量间的关系。即便是多个(例如n个)变量间的关系，也常常固定一些(n-2)变量值，只取剩下两个中的一个变量作为自变量，根据需要选取其变化的范围，再观察剩下的另一个变量的变化趋势和规律。然而再依次序变换变量，逐对逐对地研究，最后整理出多变量间的关系。例如牛顿第二定律：F=ma中，有三个变量，在没有该定律前，可能有许多感觉和猜测，如有了力会使物体运动，运动的快慢变化也许与物体的质量有关……可能还有些其他无关的量。为了建立有关量的关系可采取多变量的处理方法：
当m不变时、即对于同一个物体或者质量相同的物体(这样排除了质量对运动规律的影响)，研究外力与物体因外力作用而产生加速度的关系。如果得到F与a的关系曲线是一条倾斜直结，即说明它们间成线性关系，可用y=A+Bx表示，式中A为直线在y轴上的截距，B为直线的斜率。若取a为纵坐标，F为横坐标，满足外力等于0时，物体状态不变(即A=0)，a=B1F，式中直线斜率B1是个常数也称为比例系数或者比例常数。当a与F关系研究得到关系式后变换变量，即固定F值也可以固定a(但前者容易实现)，研究加速度与质量的关系。当F不变时或者说物体在恒定外力作用下，实验得到的规律是，a与m间成反比关系，自变量取为质量m，可写成：a=A+B2(1M)。由于质量为无穷大的物体，在很小很小(相对质量而言)的恒力作用下，物体不会改变运动状态，因此上式中的A=0，可以得到：a=B2(1m)。B2也是个比例常数。将上面两种实验和讨论结果提取出来得到：
a=B1F和a=B2(1m)。
为了综合上面两个式子，先说明左边的关系式，该式的条件是：m不变。如果对于不同的质量m，B1值应是个变量。若B1值仍是常量，这与右边的关系式不符合，因为B1是常量一定会得到相同的外力作用，对于不同质量的物体，其得到的加速度都是相同的错误结论。右边的关系式成立条件是：F不变。同样如果不同的外力F，B2值应是个变量。当m、F、a取某一确定值，即m=mi；a=ai；和F=Fi时，左右两式变为t=B1iFi和ai=B2i(1mi)。
