数学奥秘之趣
“+、-、×、÷”来源
古代印度和世界许多地区、许多民族的历史上，都出现过绳结记事、记数的事，我国古代也有过以“算筹”记数、运算的时期。就像人类先有语言后有文字一样，运算的产生往往也先于运算符号。“+、-、×、÷”这些运算符号也是在历史的进程中逐渐演变、改良、选择的结果。
欧洲文艺复兴时期用来表示加法。这是由意大利文“piu”(相加的意思)的第一个字母变化而来，符号“+”则是由拉丁文“et”(意为增加)演化而来，古希腊人曾用表示减号。符号“-”先是由拉丁文“minus”缩写成“m”，后来略去m而成“-”。乘号“×”和除号“∶”是英国数学家奥屈特于1631年提出的。除号也有人主张用除线“-”，后来又有人把它们合二为一成为“÷”。
可见，加减乘除这些运算符号，和世界上其他事物一样，也有它自己的“历史”。
手上的乘法表
如求7×6之积：7×6=(2+1)×10+3×4=42
在记住不大于5的自然数的乘法口诀的基础上，可利用双手帮助记住6、7、8、9、10之间的乘法口诀。办法如下：
将左右两手伸直放好，手指由小指到拇指依次代表6、7、8、9、10诸数。这样就可用以下法则求这些数之间的积。
例如：求7×9之积：先将左手小于等于7的手指和右手小于等于9的手指弯曲，再将弯曲的手指数相加后再乘以10，再与伸直的手指数之积相加，即可得所求之积：
7×9=(2+4)×10+3×1=63
又如求7×6之积：7×6=(2+1)×10+3×4=42
以上方法如运用熟练，即可很迅速地求得6、7、8、9、10诸数之间的积。
进一步推敲一下还可发现，这一方法并非巧合。
例如：7×9=(10-3)×(10-1)=10×10-(3+1)×10+3×1=［10-(3+1)］×10+3×1=［(5-3)+(5-1)］×10+3×1
显然，其中(5-3)、(5-1)是指弯曲的手指数，3×1中的3与1是指伸直的手指数。
有心的同学一定会从这个方法中得到些有益的启示吧！
“去9法”
由于数10去掉9后剩下1，数100去掉9的10倍后剩下1……所以任何一个比9大的自然数被9整除后的余数是比9小的自然数，可以简单地通过将原来自然数各位上的数字相加得到(如相加后得到的数比9大，可以将得到的数各位上的数字再相加，如比继续，直到比9小为止)。
例如：357214，被9整除后的余数可由3+5+7+2+1+4=22，2+2=4，知道是4。
在各位上的数字相加的计算过程中，如能有意识地先将相加后为9的数去掉，则可大大提高计算速度。例如：刚才的357214，如能注意到3+5+1=9，7+2=9，则立即可知此数被9整除后剩下的数是4。
数学魔术
在初一某班的联欢会上，王老师表演了一个数学魔术。他说：“请你们心里想一个数，把这个数加上5，再乘4，减去2，再减去4，除以2，减去你心里想的数，再减去你心里想的数。”过了一会，王老师就问：“小明，你计算的结果是7，对不？”“对！”“小红，你计算的结果也是7，对吗？”“对！”王老师又问：“同学们，我不知道你们心里想的数，却能知道你们计算的结果，这是为什么？”
大家沉思了一会，小明第一个举起手来，说道：“这是因为你要我们心里想的数后来被减去了，乘下来的仅是你给我们的已知数在进行计算，你当然知道它的结果啦！”“小明说得对！”王老师赞许地说。“我设你们心里想的数为X。运算过程用式子表示出来是这样的：
4（X+5）-2-42-X-X，它的结果是7。”
同学们听了王老师的解答，很高兴，但小红感到不满足，举手道：“王老师，这个魔术还不算稀奇，如果编个能猜出我们心里想的数的魔术，那才神呢！”王老师笑着说：“那也有办法呀！不过你要告诉我最后计算的结果。我们再一起来试试吧！每人心里想个数，把这数乘以6，再加上10，再加上2，除以2，减去你心里想的数，再减去你心里想的数。小红，你计算的结果是什么？”“6。”“那你心里在想的数是0，对吗？”“对！”“王老师，我的结果是10。”“那你心里想的数是4！”“我的结果是100。”“那你心里想的数是94！”
设心里想的数为X，则(6X+10+2)÷2-X-X=X+6。由X+6=6，得X=0；由X+6=10，得X=4；由X+6=100，得X=94……
这下，你也会变“数学魔术”了吧！你能把第一种魔术稍加改变变成第二种魔术吗？
“巧妙的切饼”之趣
意大利着名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由36个小方格组成的正方形，放着四个黑子和四个白子。现在要把它分割成形状大小都相同的四块，并使每一块里都有一个黑子和一个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四。
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题要求四块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他三块都要同样割开。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的三分之一，则黑子就会连成一片；如果去掉中间的三分之一，又会有两个白子连在一起；因此只可去掉边上的三分之一。现只需要把左边两个白子分开。显然，只要将四条短的分割线延长，只能沿折线分割线长到边，就能到目的。到此，六条分割线都不能再延长，只能沿折线分割，成为符合要求的。
自然数之趣
1、2、3……这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。
奇妙的自然数图中左下角是一个小正方形，由此开始，第一层虚线标出了三个小正方形，第二层虚线标出了五个小正方形……它说明了下面一些有趣的事实：
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5+9=32
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82
一般地，如果n是一个自然数，则：1+3+5+……+(2n-1)=n2。
对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：
13=12，13+23=1+8=9=(1+2)2
13+23+33=1+8+27=(1+2+3)2
13+23+33+44=1+8+27+64=(1+2+3+4)2
……
13+22+33+……+n3=1+8十27+……+n3=(1+2+3+……+n)2
再来看6174这个数。把它的各位数字从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：7641-1467=6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四位数，只要它的四个数字不全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，最终都将得到6174这个数。比如0923：
9320-0239=9081，
9810-0189=9621，
9621-1269=8352，
8532-2358=6174。
对随便一个六位数按上述方法计算，会得到三种结果：(1)631764的重复；(2)549945的重复；(3)下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
对八位数也有类似的结果，最后都归于6333176664；对十位数来说，最后都归于6333176664；从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。
1930年，意大利的杜西教授做了如下的观察：
在一个圆周上放上任意四个数，例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中最大的是n，则在重复4n-1步时，四个差数将相同。
三位数也有奇妙的性质。
任取一个三位数，将各位数字倒着排出来，成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：
自然数195+591=786
786+687=1473
1473+3741=5214
5214+4125=9339
只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。
专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又困难的问题，科学家们正努力加以解决。
无理数之趣
无理数就是无限不循环小数，如2、π等等。
人们发现的第一个无理数是2。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体，他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时(如果1∶x=x∶2，那么x为1和2的比例中项)，左思右想都想不出这个中项值。后来他画一边长为1的正方形，设对角线为x，于是x2=12+12=2。他想，x代表正方形对角线长，而x2=2，那么x必定是确定的数。x不能是整数，那么x会不会是分数呢？毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
这样，x既不是整数又不是分数，希帕索斯等人认为这必定是一个新数。这一发现导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点，被扔到大海里淹死了。
无理数的发现，使数的概念又扩展了一步。
无限大与无限小之趣
人们一般碰到的数，无论是实数还是复数，都有确定的量值，换句话说是有限的。这反映了我们通常碰到的事物是有限的，总可以用这些数计量。
人类在长期认识过程中，又逐渐产生两个新的概念。最早的时候，人们将整个宇宙理解为地球，航海学的测量又测得地球半径为6370公里，对人们来说，那是一个非常大的数。16世纪，哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系，太阳系的半径为60亿公里，约是地球半径的94万倍，地球与之相比只是沧海一粟了。18世纪，人们的视野扩展到银河系，银河系的直径相当于9．3312×1017公里，这个数字更是大得惊人。随着科学技术的发展，人们借助射电望远镜，又将宇宙范围扩展到星系团、超星系团，以至总星系。这些星系的半径都在数百万光年(光年即光走一年的路程，约9．3312×1012公里)以上，这个数字简直是无法把握的。总星系之上当然还有更大的宇宙，永远不会穷尽。这样就出现了无限大的概念，数学上记为∞。它的含义是比任何实数都大的数，这个数当然是虚拟的，不是一个确定的数。
在微观世界，人类的认识也从分子认识到原子，从原子认识到原子核。原子核的直径约10厘米，原子核还可以分解为质子、中子，它们的直径更小。这一分解过程也可以无穷尽地进行下去，这样就带来了无限小的概念。
无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了，这是从定量到变量的过渡中产生的数，是微积分的基础。
兔子问题之趣
1202年，意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出一个问题：有人想知道在一年中一对免子可以繁殖多少对，就筑了墙把一对兔子放在里面。如果每对大兔每月生一对小兔子，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子都全部存活，那么一年后围墙中有多少对兔子？
假定在1月1日把一对小兔子放进围墙，用表示一对小兔，用表示一对大兔。每对大兔经过一个月后又繁殖出新的一对小兔，一对小兔经过一个月变成一对大兔，不过还没有生出小兔子。
兔子繁殖中的数学经过计算发现，从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两月的和。这个规律可以任意地递推下去。如果把第n个月的兔子对数记为un，就得到：
un+2=un+1+un(n=1，2，3……)
而u1=u2=1
把这些数的前13个写出来，就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。也就是说，到下一年的1月初，围墙里就有了233对兔子。这就是问题的答案。
根据以上算式给出的规律，这个数列显然可以任意多项地写下去，我们称它为“斐波那契数列”，其中的数就称为“斐波那契数”。
研究这个数列有很大的意义。这个数列的通项公式：
un=151+52n-1-52n
经数学推算可发现，随着n的增大，unun+1越来越接近于5-12。这就是说，一个所有的项都是有理数的数列，却与5-12这样一个无理数有密切的关系。更奇怪的是，这个数恰好就是“黄金分割”的值，在几何学和优选法中都少不了它。
这个数列还有以下的性质：
(1)un和un+1的最大公约数是1
(n=1，2，3……)
(2)u1+u2+……+un=un+2-1
(n=1，2，3……)
(3)u2n+1=u2n+1+u2n，u2n=un(un+1+un-1)
(n=2，3，4
这个数列的性质很多。美国现在有一份专门的杂志《斐波那契季刊》，刊登有关这个数列性质的最新发现。
生物学家也对此产生了兴趣。因为他们发现，许多生物的生长也遵循斐波那契数列。如果一棵树每年都在生长，第二年有2个分枝，通常第三年就有3个分枝，第四年有5个分枝，第五年有8个，与斐波那契数相一致。数学就是这样以它令人惊讶的能力，揭示出自然界的许多奥秘。
百鸡问题之趣
公元5世纪末，我国数学家张邱建在他着的《张邱建算经》中提出了一个着名的百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答曰：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三；鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四，值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”设公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，则
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
未知数的个数多于方程的个数，这种方程(组)叫做不定方程(组)。消去z得y=25-74x。因x、y、z代表公鸡、母鸡、小鸡的只数，故只能取非负的整数，所以x必为4的倍数。设x=4t，则y=25-7t，z=75+3t(t整数）。由x，y，z大于等于0可得0小于等于t小于25/7，所以t=0，1，2，3。
对于t的4个值得对应的4组解：
x=0
y=25
z=75x=4
y=18
z=78x=8
y=11
z=81x=12
y=4
z=84
原书中的3组案是取正整数解，但是一组解也符合题意。
百羊问题之趣
百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
这个问题说的是牧羊人赶着一群羊在河边放牧，有人问他：“你赶来的这群羊大概有一百只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”谁能知道这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有x只，则
x+x+12x+14x+1=100，解这个方程得：x=36，也就是牧羊人放牧的这群羊共有36只。
构造方式巧解题之趣
例1已知x1、x2均为正数，求证：
1+x21+1+x222大于等于1+x1+x222。
