这是一个天才中的天才。
就不说他3岁指出父亲账本的错误，不说他22岁获得博士学位，也不说他25岁当选院士，更不说他精通六七种语言。
只说他19岁的时候就想出了正十七边形的尺规画法。在他之前的所有大数学家，包括牛顿在内，都没能想出这方法来。当然，我知道，您大概跟我一样，对这什么什么边形没什么概念。正好网上可以搜到画这个正十七边形的动画，您自个儿看一下就能感受到了。我的意思是，别说19岁了，就算你我学到29岁，这画法咱都未必能学会。
这个人您大概猜出来了，他叫高斯，法国人，人送外号数学小王子。
高斯一生获得了无数荣誉，无论是社会地位还是学术地位都很高。但是他在数学上有一项重大的发现，却因为害怕社会压力一直没有发表，直到他去世以后，人们才从他的书信和笔记中知道了这个发现。
到底是什么数学发现让已经名扬天下的高斯如此恐惧呢？
1826年，在俄罗斯的喀山，一位叫罗巴切夫斯基的数学家发表了一篇古怪的演讲。在严肃的学术会议上，他突然谈起什么平行线可以相交、三角形内角之和不等于180度等等古怪的定理。这正是高斯不敢发表的那些发现。事实证明高斯的谨慎是对的，就是因为说出了这些发现，罗巴切夫斯基一生遭到了各种压力，攻击和嘲讽接踵而来，晚年的时候连大学教职都被剥夺了。
他到底发现了什么呢？
罗巴切夫斯基其实没想这么叛逆。我们前面讲欧氏几何里有五条公设，其中第五条公设非常复杂，很多数学家都想通过前四条公设证出第五条来，结果都没有做到。罗巴切夫斯基也想这么做，但是他别的办法不用，非要用归谬法。归谬法是什么意思呢？就是先假设第五公设不成立，然后只要能推出不成立的第五公设和其他公设有矛盾，就可以证明第五公设是多余的了。
罗巴切夫斯基假设第五公设不成立以后，他使劲地证啊证，越证越不对劲儿，为啥所有的结论都和前四个公设不矛盾呢？结果罗巴切夫斯基发现，嘿，把第五公设改了以后，新的第五公设和前四个公设竟然还是相容的，这不就形成一个全新的几何体系了吗？而且这个几何体系和欧氏几何的各种定理全都不一样。后来这个体系就被称为非欧几何学。这可真是数学界的一大发现！罗巴切夫斯基很激动地发表了自己的看法，结果却换来数学界的一片嘲笑。
这是为什么呢？
我就问大家一句话，朋友们，你们能想象出平行线相交的情况吗？
假如你在上中学数学课的时候，举手问老师说：“老师，为什么平行线不能相交呢？”
老师多半会回答说：“大哥呀，平行线的定义就是‘在平面内两条不相交的直线’——再捣乱就给我出去！”
你看，一般人根本没法想象什么叫“平行线相交”，这话完全是没意义的嘛，罗巴切夫斯基时代的很多数学家也是这样，所以都不理解罗巴切夫斯基的想法。
另一个研究非欧几何学的法国人黎曼，也没从这发现中得到多少好处。黎曼也是个天才型的数学家，受到过高斯的高度评价。但即便如此，黎曼在当上大学教授之前非常贫苦，时常要饿肚子。他建立的黎曼几何学并没能给他带来财富。因为贫病交加，黎曼39岁就去世了。
在黎曼去世50年后，爱因斯坦创立了震惊世界的相对论。爱因斯坦证明，牛顿描述的世界不够准确，相对论才描述了世界的真实样子。
然而，爱因斯坦有物理理论却找不到数学工具来表达它。为此爱因斯坦苦苦思索了三年也没有结果，直到他的一位数学家朋友从旧纸堆中发现了黎曼的著作，并惊喜地发现，这理论能完美地表达相对论。
从此，学术界才意识到，非欧几何学不是疯人的臆想，反倒能揭示世界的真相。
在小学数学课上，常常有孩子这么问老师：
“老师，什么叫公理？”
大部分老师都会严肃地回答：
“大家公认的道理就是公理。”
但如果你此时已经继承了苏格拉底的怀疑精神，那么你就应该反问道：“那么老师，到底有多少人公认才算是公理呢？我承认有用吗？”
老师说：“废话，你是小孩，你承不承认有个屁用！”
你又说：“那大人承认有用吗？公理应该让全民投票吗？要是全民投票，布鲁诺不还是应该被烧死吗？”
老师说：“只要数学家都承认就可以了。”
你又说：“那什么样的人才能算数学家呢？是根据考试产生吗？还是投票产生吗？抑或是根据学历吗？再说，数学家之间也投票吗？哪边人多哪边就正确吗？那会不会是这样的场景呀——某个礼拜天的早晨，剑桥大学数学系里人声鼎沸，如同证券交易所一般。负责接听电话的助教兴奋地大喊：‘就差一票啦！就差一票就可以压过牛津那帮孙子啦！’数学系教授们焦急地互相询问：‘谁？谁还没投票？’只有罗素沉着地说：‘快把维特根斯坦叫起来，丫一定在赖床，每次投票他都缺席！’
“呃……老师，是这样的吗？”
于是老师只能说：“你给我出去！”
今天我们知道，老师们这么回答其实是蛮不讲理。
公理不是什么公认的道理，公理是硬性规定的。
但是在非欧几何出现之前，大部分知识分子对几何公理的看法和咱们老师的说法差不多。谁能认为平行线还可以相交呢？
因此我们前面说，理性主义者相信这世上存在着某种先验的真理，根据之一就是欧氏几何的存在。哲学家们觉得，欧氏几何中的图形不存在于任何一个日常事物中，但是却可以概括世间的一切平面形状，这不是表明世间存在着某种神秘秩序吗？但是非欧几何的出现说明，欧氏几何并没有什么超然的独特性，不过是我们对世界众多描述方式中易用的一种罢了。因而哲学家们对先验理性存在的信心也就降低了。
其实，这远不是数学家第一次摧毁人们对先验理性的信心。比如古希腊哲学家大都相信“整体大于部分”是不言自明的真理（咱们一般人也都相信）。但是数学家在研究无穷大数的时候发现一个有趣的问题：
我们知道，自然数包括奇数和偶数，偶数只是自然数的一部分。但是我们却可以认为偶数和全体自然数一样多！因为每提出一个自然数，都可以将它乘2，找到一个和它对应的偶数。按照这个方法，无论找到多少自然数，我们都能找到一样多的偶数。所以，“整体大于部分”的概念在无穷大的集合中是有问题的。
当然，这似乎只是个数字游戏，跟我们的生活关系不大，那么看看下面这件事。
1919年3月8日，第一次世界大战刚刚结束几个月，两队英国人登上了停靠在利物浦港的英国军舰。这艘军舰要把两队人分别送到非洲海岸附近的一座小岛上和巴西热带雨林的一片荒地上。两队人行色匆匆，他们必须在5月29日之前做好一切准备，晚一秒都不行。
这是一场带有民族情绪的行动。英国和德国在一战中互为敌国，而这场行动即将证明，到底是英国人牛顿还是德国人爱因斯坦在引力问题上的预言更加准确。因为这是英国人的队伍，所以有不少人都暗暗倾向于牛顿。
之所以选择5月29日这一天，是因为爱因斯坦的理论有一个古怪的推论。按照爱因斯坦的说法，太阳的引力能够扭曲光线。在白天，我们观测太阳旁边的星星时，星星发射到地球的光线不是正好路过太阳吗？这光线就会受到太阳引力的干扰，我们所看到的星星位置会受到影响。而到了晚上没有太阳的时候②，我们观测到的星星的位置没受到太阳的影响，就和白天的不同了。
但我们都知道，白天是看不到星星的，因为太阳太亮了。
只有一种情况除外：日全食。
1919年5月29日正是发生日全食的日子。英国人千里迢迢地远行，为的是寻找地球上的最佳观测点。而且为了防止那天当地正好阴天，因此选择了两个观测点，组织了两队人马。
最后的结果大家都知道了，爱因斯坦是对的。他预测的数字极为准确，而牛顿是错的。
这不是唯一的一次实验，在这之前和之后，科学家们做了无数次实验，都证明了爱因斯坦的正确。
牛顿时代结束了，相对论时代取而代之。
相对论得出了很多看似怪诞的结论。出于好奇，让我们简单地了解一下。
首先说狭义相对论，我们看看两个最直观的结论。
第一，光速是永恒不变的。我们在前进的自行车上打手电筒发出的光速，和我们站着不动打手电筒的光速一样。
这就可以问了：假如我是一个武功高手，出手飞快，我的手速已经超过了光速，那我向你出手的时候你会看到什么呢？因为从我手上发出的光的速度没有我手的速度快，所以你会先挨打，然后才看到我出手。这……不就天下无敌了吗？
爱因斯坦说，不行，因为任何物体的移动速度都不能超过光速。再牛的武林高手，即便能突破生理极限，也没法突破物理规律的极限，他的拳速至多是接近光速，永远不可能超越光速。
第二，说一个宇宙飞船接近光速，飞船之外的人去看这个飞船，会发现飞船的时间变慢了，长度也缩短了。然而飞船内部的人却没有感觉。
准确点说是这样，相对论说的是，两个运动状态不同的观测者，在看同一个物体的时候，他们看到的这个物体的时间、长短、质量都是不同的。
也就是说，在牛顿时代（也是咱们普通人的概念），时间和空间都是独立的，互相没有关系。就像“5分钟”和“3厘米”根本没法放在一起计算一样。
但是狭义相对论认为，时间和空间不是互相独立的，可以互相影响，不同运动状态的人观察同一个物体，观测到的时间、大小都不相同。因此时间和空间得放在一起研究，统称为时空。质量和能量也不是互相独立的，统称为质能。这也是核武器的理论基础。
牛顿理论相信物体的时间、长度、质量都是绝对的，无论观测者是谁，一米尺子就是一米，是不变的。狭义相对论则认为，这些数值都是相对的，观测者不同，观测的结果就不同。
以上是狭义相对论。下面来说广义相对论，它解释的是万有引力。
在相对论之前人们已经知道了万有引力的存在，但是不知道引力是如何产生的。万有引力能够让两个星球相隔万里还有相互作用力，这点连牛顿都不太说得明白。
