函数y=Asin（ωχ＋φ）的图像
【教学目标】
1.会用“五点法”画函数y=Asin（ωx＋ψ）的简图，理解A、ω、ψ的物理意义；2.掌握由函数y=sinx图像到函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像变换过程；3.通过图像变换的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体的辩证思维方法。
【教学建议】
知识结构
重点与难点分析
本节重点是用“五点法”画函数y=Asin（ωx＋ψ）的简图，以及由函数y=sinx的图像得到函数y=Asin（ωx＋ψ）图像的变换过程。“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到，是数形结合中画图常用的方法。图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化，由特殊到一般的化归思想，要掌握三角函数的图像变换，关键理解A、ω、ψ对图像变换所起的作用。
本节难点是当ω≠1时，函数y1=A1sin（ω1x＋ψ1），y2=A2sin（ω2x＋ψ2）的图像间的关系。学生在这里经常出错，教学中要帮学生尽量克服这一难点。首先要学生理解A、ω、ψ三个参数的名称、在变换过程中的作用，函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像如何通过y=sinx逐步变换得到的，A、ω、ψ三个参数对于图像有什么样的影响。变换的顺序不同ω、ψ变换的数据可能就不相同，让学生理解所的变换均是针对x而言的，关键是看x是如何变化的。
教法建议
1本节的主要内容是“五点法”画函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像，以及由函数y=sinx图像到函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像的变换过程。首先让学生理解由函数y=sinx的图像分别到函数y=Asinx，y=sinωx，y=sin（x＋ψ）图像，是如何变换得到的以及参数A、ω、ψ分别对变换图像影响。讲解过程中一定要结合图像，让学生掌握变换的思路。讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程。每个例题讲解图像变换的目的，在于揭示各种正弦函数图像的内在联系，而并不要求用图像变换来作图，而是为y=Asin（ωx＋ψ）图像的变换奠定基础。
2由函数y=sinx图像变换到函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像过程中，变换的顺序不同可能变换的量不相同，例如先变相位，再变周期，与先变周期。再变相位，相位变换的量不同，函数y=sin2x＋π3的图像可由函数y=sinx的图像上所有点向左平π3，再将所得各点的横坐标缩短到原来的12；也可先将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将所得各点向左平移π6。这一不同学生很难理解，学生很容易出错，也是经常考查内容。首先给学生说明对于y=Asin（ωx＋ψ）中的ω、ψ均是针对x而言的，因此在变换的过程关键就看x变换了多少，其它因素暂时不考虑。可以借助多媒体课件讲解，能起到更好的效果。
3画函数y=Asin（ωx＋ψ）的简图，主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点。要强调一下：这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点；找出它们的方法是换元法，X=ωx＋ψ设，由X取0，π2，π，32π，2π来确定对应x的值。在每道例题中讲图像变化的目的，在于揭示函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像与正弦曲线的关系，而不是要求按图像变化规律来画图，这样可以借助函数y=sinx的性质研究函数y=Asin（ωx＋ψ）的性质。
4由于函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像在物理和工程技术的很多问题中应用都很多，所以，在引入函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像时，就可以从物理中的一些实际问题出发，即结合了实际，又体现了学以致用的思想，特别是对A、ω、ψ物理意义的理解。比如可以举物体作简谐振动时位移s与时间t的关系。
函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像（第一课时）
教学具准备
直尺、投影仪。
教学目标
掌握由y=sinxy=Asinxy=Asinωx教学过程设置情境
函数y=Asin（ωx＋ψ）（A、ω、ψ是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移s与时间t的关系，交流电中电流强度i与时间t的关系等，都可用这类函数来表示。我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数y=Asinx与y=sinx的简图的作法学起。（板书课题）-函数y=Asinx与y=sinx的图像。
探索研究
（可借助多媒体）
（1）函数y=Asinx与y=sinx的图像的联系例1画出函数y=2sinx及y=12sinx（x∈R）的简图。
解：函数y=2sinx及y=12sinx的周期均为2π，我们先作[0，2π］上的简图。
列表并描点作图（图1）
x0π2π3π22πsinx010-102sinx020-2012sinx0120-121
图1
利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在[0，2π］上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图。
y=2sinx的图像与的y=sinx图像之间有何联系？请一位同学说出y=2sinx的值域和最值。
生：y=2sinx的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的。y=2sinx，x∈R的值域是[-2，2］，最大值是2，最小值是－2。
师：y=12sinx的图像与y=sinx的图像有何联系？并请你说出y=12sinx的值域和最值。
生：y=12sinx的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍，（横坐标不变）而得到的，y=12sinx，x∈R的值域是-12，12，最大值是12，最小值是-12。
师：由例1中y=2sinx、，y=12sinx与y=sinx的图像的联系，我们来探求函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图像与y=sinx的图像之间的联系。
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由A的变化而引起的A，y=Asinx叫做函数的振幅。y=Asinx，x∈R的值域是[-A，A］，最大值是A，最小值是-A。
（2）函数y=sinωx与y=sinx的图像的联系例2作函数y=sin2x及y=sin12x的简图。
解：函数y=sinωx的周期T=sin2π2=π，因此，我们先来作x∈[0，π］时函数的简图。
x0π4π23π4π2x0π2π3π22πsin2x010-10
函数y=sin12x的周期，因此，T=sin2π12=π我们先作x∈[0，4π］时函数的简图。
x0π2π3π4π12x0π2π3π22πsin12x010-10
描点作图（图2）
图2
师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出y=sin2x，x∈R及y=sin12x，x∈R的简图。
请同学们观察函数y=sin2x与y=sinx的图像间的联系及y=sin12x与y=sinx的图像间的联系。
生：在函数y=sin2x，x∈[0，π］的图像上，横坐标为x02（x0∈[0，π］）的点的纵坐标同y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等，因此y=sin2x的图像可以看做是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到的。
同样，y=sin12x的图像可以看做把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。
师：由例2中，y=sin2x、y=sin12x与y=sinx的图像的联系，请你探求函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图像与y=sinx之间在联系。
生：函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图像，可以看做是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的。这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T的关系为T=2πω。
演练反馈
1画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图（1）y=sin32x，x∈R（2）y=sin4x2函数y=sin32x，x∈R的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系。
3说明如何由y=sinxy=sin2x；由y=sinxy=sin12x。
【参考答案】
1
2周期是3π，把y=sinx的图像上每个点的横坐标伸长23倍（纵坐标不变）即得y=sin32x的图像。
3y=sinx的图像沿x轴方向压缩12得y=sin2x的图像（纵坐标不变）；把y=sinx的图像上纵坐标缩短12倍（横坐标不变），即得y=sin12x的图像。
【总结提炼】
（1）用“五点法”作y=Asinx或y=sinωx的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0，π4，π2，3π4，π，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点。
（2）y=Asinx的图像可以看做是把正弦曲线y=sinx图像经过振幅变换而得到。
（3）函数y=sinωx的图像可以看作是把y=sinx实施周期变换而得。
（4）作图时，要注意坐标轴刻度，x轴是实数轴，角一律用弧度制。
板书设计
1函数y=Asinx与y=sinx的图像联系例1联系2函数y=sinωx与y=sinx的图像的联系例2联系小结：演练反馈总结提炼函数y=Asin（ωx＋ψ）的图像（第二课时）
教学具准备
直尺、投影仪。
教学目标
1掌握由y=sinxy=sin（x＋ψ）的变化过程，理解由y=sinx到y=Asin（ωx＋ψ）的变换步骤。
2利用平移、伸缩变换方法，作函数y=Asin（ωx＋ψ）图像。
教学过程
设置情境
师：上节课，我们学习了如何由y=sinx的图像通过变换得到y=Asinx和y=sinωx的图像，请同学复述一下变换的具体过程。
生：将y=sinx的图像通过振幅变换便得到y=Asinx的图像将y=sinx的图像通过周期变换就得到y=sinωx的图像师：今天这节课，我们将继续学习如何由y=sinx的图像通过变换手段分别得到y=sin（x＋ψ）及y=Asin（ωx＋ψ）的图像，（板书课题：函数y=sin（x＋ψ）和y=Asin（ωx＋ψ）的图像）
探索研究
（1）如何由y=sinx的图像通过变换得到y=sin（x＋ψ）的图像例1画出函数y=sinx＋π3，x∈R，y=sinx-π4，x∈R的简图师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数y=cosx=sinx＋π2，x∈R的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动π2个单位长度而得到。
同学们能否用类比的方法由y=sinx的图像得到y=sinx＋π3和y=sinx-π4的图像。
生：从y=sinx的图像向左平移π2个单位长度而得到y=sinx＋π2，即y=cosx的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动π3个单位长度，就可以得到y=sinx＋π3的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移π4个单位长度，就可以得到y=sinx-π4的图像。
函数y=sinx，x∈[0，2π］
y=sinx＋π3，x∈-π3，5π3
y=sinx-π4，x∈π4，9π4
在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）
师：我们已经学过并且知道y=f（x）与y=f（x±a）图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到y=sin（x＋ψ）与y=sinx的图像之间的联系吗？
生：函数y=sin（x＋ψ），x∈R（其中φ≠0）的图像可以看做把y=sinx的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动φ个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换。
（2）如何由y=sinx的图像通过变换得到y=Asin（ωx＋ψ）的图像例2画出函数y=3sin2x＋π3，x∈R的简图。
解：函数y=3sin2x＋π3的周期T=2π2=π，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图。
x-π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22π3sin2x＋π3030-30
描点，连线得图2
图2
利用函数的周期性，我们可以把它在-π6，5π6上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图。（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）
