数学教学的趣味奥秘设计数学教师的趣味教学设计与创新1.“农妇卖蛋”
“农妇卖蛋”是一个经典问题。
这个问题说的是：一农妇去市场卖鸡蛋，第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个；第二次又卖去剩下鸡蛋的一半又半个；第三次卖去前两次卖后所剩下鸡蛋的一半又半个，最后又卖去所剩下鸡蛋的一半又半这时鸡蛋恰好卖完，问农妇原有多少鸡蛋？
许多数学家爱好者对这个问题十分感兴趣，并给出了许多解答方法，但多数方法较为繁琐。瑞士着名的数学家欧拉对这个问题给出了一个别具一格的解法：设第三次卖完后所剩(第四次卖去)的鸡蛋为1+0.5，第三次卖去的鸡蛋为(1+0.5)×2＝3，第二次卖完后所剩鸡蛋数应为：(3+0.5)×2=7(个)，因此，农妇原有鸡蛋数为：(7+0.5)×2=15(个)
我们从欧拉对上述问题得到启发：有些数学问题，如果按正向思维去考虑问题，有时难以入手或根本无法获解，但若能根据问题提供的条件，进行逆向思维去考虑，则有获解的希望。欧拉解农妇卖蛋问题正是这种逆向思维方式的具体体现。
2.摆满棋盘的麦粒
在印度，有一个古老的传说：“当时舍罕王打算重赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。宰相请舍罕王在棋盘的第一个小格内赏给他一粒麦子，在第二个格子内赏给他2粒麦子，第一个格赏给他22=4粒麦子……照此下去，每一格内的麦子都比前一小格的加一倍。舍罕王认为这样摆满棋盘上所有64格的麦粒也不过一小袋，就答应了宰相的要求。可是当宫廷数学家计算了这个数目之后，才发现整个国家仓库里的所有麦子全部给宰相还相差很多，甚至在全世界的土地上也不可能收获这么多的麦子。
这是怎么回事呢？这是一个等比数列(也称几何级数)求前64项和的问题。
根据等比数列求前几项和的公式：
Sn=a1(qn-1)q-1，(其中a1是等比数列｛an｝的第一项，q是公比，n为项数)而在该题中，a1=1，q=2，n=64，则：
S64=1×(264-1)2-1=264-1=18446744073709551615
这个数字是非常大的。可见，古印度在当时就有了几何级数的思想。
在中国两千多年前的《易经》、《九章算术》等着作中，都包含了等比数列的内容。
3.摸球的奥秘
在一些地方常有人经营这样的“游戏”，经营人手持一个布口袋。口袋里有20个同样大的玻璃球，其中10个蓝球，10个红球，由你任意摸10个，当你摸出的球两种颜色的比为：
10∶0赢300元
9∶1，赢100元
8∶2，赢30元
7∶3，赢2元
6∶4，输10元
5∶5，赢1元
初看，似乎摸球人很占便宜，可以赢5种比值，而经营者只赢1种，摸球的人赢的数额又分别为300元、100元、30元和1元。其实不然，摸球人一般会遇到失败。是否其中有诈？通过仔细观察，发现布袋里的玻璃球并无异样。经营者甚至会让摸球人自己拿着布袋子摸，结果往往又遭失败。
这里的奥秘在哪里呢？
我们知道，在自然和社会现象中，有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生，也可能不发生，这类事件叫随机事件。对一个随机事件做大量实验时发现，随机事件发生的次数与试验次数的比总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。例如：做大量抛硬币的试验中，正面向上和反面向上的次数大致相等，各占总次数的12左右。12就是硬币正面向上(和反面向上)这一事件的概率。
在上述摸球的“游戏”中，摆摊人所列出的几种比所产生的概率是不同的，分别为：
10∶09∶18∶27∶36∶45∶5192378100923782025923781440092378441009237831752923780.001%0.11%2.19%15.59%47.7%34.7%
由上表可以看出，6∶4发生的可能性最大，10∶0出现的可能性最小。他把最小的让给摸球人，价格定得很高，自己挑了个概率最大的，定了中价，5∶5的概率排在第二位。为了避免摸球人总是失败，经营者把这个让给摸球人，但价格定的最低，对摸球人赢的几种情况，概率越小，定价越高。
如果按概率的数值计算，你摸92378次，则可以赢到，300×1+100×100+30×2025+2×14400+1×31752=131602(元)，而应输掉44100×10=441000(元)，结果摸球人将输掉441000-131602=309398(元)
显然，经营者在不捣鬼的正常情况下，可以赢到30多万元。
摸球“游戏”是一种赌博行为，但利用的是数学知识，可见数学知识无处不在。如果我们掌握了这些知识，就不会上当受骗了。
4.巧解九连环
外国文献中把九连环叫做“Chinese Ring”，世界上一致公认它是人类所曾发明过的最奥妙的玩具之一。
九连环不知道是什么时候发明的，由于年代久远，缺乏史料，许多人都认为它大概来自民间。十六世纪的大数学家、在普及三次方程解法中作出了卓越贡献的卡尔达诺在公元1550年（相当于我国明朝中叶）已经提到了九连环。后来，大数学家华利斯对九连环也作了精辟的分析。在明清二朝，上至所谓“士大夫”，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。
九连环一般都用粗铅丝制成，现在从事此道的民间艺人已经寥若晨星，我们只好自己动手来做一个。它共有九个圆环，每一个环上都连着一个较细的铅线直杆，各杆都在后一环内穿过，插在白铁皮上的一排小孔里。杆的下端都弯一小圈，使它们只能在小孔里上下移动，但脱不出来。另外再用粗铅丝做一个双股的钗。
玩这种游戏的目的是要把九个环一个扣住一个地都套到钗上，或者从钗上把九个环都脱下来。不论是套上或脱下都不容易，要经过几百道手续，还得遵循一定的规律，用数学的行话来说，就是有一套“算法”。
先介绍两种基本动作。如果要把环套到钗上去，先要把环从下向上，通过钗心套在钗头上，这一个动作除了第一环随时可做外，其余的环因为有别的环扣住，都无法套上。但有一点要注意，如果前面有一个邻接的环已经套在钗上，而所有其他前面的环都不在钗上时，那么，只要把这一个在钗上的环暂时移到钗头前面，让出钗头，后一环就可以套上去，再把前一个恢复原位。
至于环从钗上脱下的基本动作，只要把上面的“上环”动作倒过来做就行了。
懂了这两种基本动作之后，我们还要多加练习，要做到不论套上或脱下都能运用自如。现在可以看出，如果只要套上第一环，只须一步手续就行了。要套上第一、二两环，可先上第一环，再上第二环，因此，一共需要二步。如果要上三个环呢。手续就更麻烦了。必须先上好第一和第二两个环，还得脱下第一环，才能套上第三环，最后再上第一环，这样，一共需要五步。（为了统一起见，每移动一个环算作一步。）当环数更多时，手续必然更繁，如果一旦弄错，就会乱了套。幸而我国古代的研究家们早就考虑到了，他们根据古算的特色，创造了三句口诀：“一二一三一二一，钗头双连下第二，独环在钗上后环。”（最后五步是一二一三一；脱环时最先五步是一三一二一。）
换句话说，移动的手续是，每八步可作为一个单元，其中的前七步一定是“一二一三一二一”，至于到底应“上”应“下”呢，这可依自然趋势而定。即：原来不在钗上的应“上”，原来在钗上的应“下”。至于第八步则要看那时钗头的情况而定：如果有两环相连时，一定要脱下后一环；如果钗头只有单独的一环时，一定要套上后一环。以上就是口诀的意思，“算法”的全部奥妙就都在这里了。根据这三句口诀，解开或套上九个环，虽然有341步之多，也不费吹灰之力了。据我国古代小说记载，民间老艺人把九连环全部解开来，大约只要五分钟左右。
1975年，在国外出版了一本专书，专门讲各式各样的数列。由于电子计算机的飞速发展，数学里有一种“离散化”倾向，因此，这本书的出版，被认为是前所未有的，得到了各方面的好评。在这本书里，也收罗着下面的数列：
1、2、5、10、21、42、85、170、341……
起先大家都莫名其妙，不知道它是干什么用的，因为它既非等差数列，又非等比数列，也不是一些有名的数列。但是，后来一经指点就恍然大悟了，原来它就是“九连环”数列。第一项的1，表明解开一个环只要一步，第二项的2，表明解开二个环需要二步……等等以此类推。由此可见，解开九个环，一共需要三百四十一步。
数列里头的各个数，到底有什么规律？是否非得死记不可？经过专家一研究、一分析，谜底终于揭穿了。原来，如果我们用un代表上述数列中的第n项，那么，就可以得出下面的公式：
当n是偶数时，un＝2un－1。
（例如，解开八个环需要的步数170，正好是解开七个环需要的步数85的二倍。）
当n是奇数时，un＝2un－1＋1。
（例如，解开九个环需要的步数341，等于解开八个环需要的步数170的二倍再加上1。）
这样一来，我们有了u1，就能推出u2，有了u2，就能推出u3……正象顺藤摸瓜，这种方法就叫“递归”，是数学里一个非常重要的概念。
上面的方法虽然好，有人却仍旧感到美中不足。他们问，如果要解开几个环，到底需要几步？有没有一个直接的计算公式呢？用数学的行话来说，就是要求出一个用n来表示un的函数关系。经过前人的研究，这个式子也是有的，即：
un＝13（2n＋1－1）当n为奇数时；
13（2n＋1－2）当n为偶数时；
于是，九连环的问题就圆满解决了。
5.奇怪的遗嘱
古时候，人们曾将一些动物奉若神明。例如，古埃及人将猫尊为神圣的月亮和富裕女神，顶礼膜拜。谁家的猫死了，全家人都得剪掉头发，剃光眉毛，以示哀悼；而谁要是杀死了猫，即使是无意的，也会被处以极刑。
无独有偶，印度人也有类似的习俗。不过，他们顶礼膜拜的不是猫，而是牛，即使牛横冲直撞，践踏庄稼，人们也不敢干涉。至于有谁屠宰牛，则无异于犯下了弥天大罪。
由于这种奇特的习俗，印度人民中流传着一个非常有趣的故事。
相传在非常遥远的古代，一位老人害了重病，临终前，他将3个儿子全都叫到床前，立下了一份遗嘱。遗嘱里规定3个儿子能够分掉他的17头牛，但又规定：老大应得到总数的1／2，老二应得到总数1／3，而老三只能得到总数的1／9。
老人去世后，兄弟3人聚在一起商量如何分牛。起先，他们以为这是一件非常容易的事，可是，他们商量来，商量去，商量了老半天，也没有找出一种符合老人规定的分法。因为17的1／2是812，17的1／3是523，17的1／9是189，这3个数都不是整数！
而且，这种分法需要活活杀死2头牛，实际上是根本行不通的。
其实，即使是偷偷屠宰了2头牛也无济于事，因为812＋523十189＝16118并没有能将17头牛全部分完，还会余下1头牛的17／18。剩下的部分又该怎么办呢？这份遗嘱能够执行吗？
兄弟3人解决不了这个问题，去向许多有学问的人请教，大家聚在一起商量了老半天，也没有找出一种符合老人规定的分法。
一天，有个老农牵着1头牛从这家门口经过，听说了这件事，他想了一会儿，开口说道：“这件事其实很容易。这样吧，我把这头牛借给你们，你们按总数的1／2、1／3、1／9去分，分完后再把这头牛还给我就行了。”
兄弟3人决定按老农的分法去试一试。这时，他们手中共有18头牛，老大分1／2，得9头；老二分1／3，得6头；老三分1／9，得2头，真是巧极了，这么一来，他们刚好分掉了自己家的17头牛，而且还余下1头，正好原封不动地还给那位老农。
这个难住了那么多人的数学问题，就在这变魔术似的一借一还中，干脆利落地给解决了。
这是怎么回事呢？原来，那位聪明的老农弄清了遗嘱的秘密。老人规定3个儿子各得17头牛的1／2、1／3、和1／9，实际上，也就是要他们按这个比例去分配。把1／2∶1／3∶1／9化成整数比是9∶6∶2，而9＋6＋2又正好等于17，所以，按照9、6、2这3个数字去分配，就正好符合遗嘱规定的分法。
那么，老农为什么又要借给兄弟3人1头牛呢？瞧，12十13十19＝1718，这个算式提醒人们，按照遗嘱的规定去分牛，实际上是在分配18份中的17份。老农借出1头牛后，总数达到了18头，而18头的1／2、1／3和1／9正好是整数，他的分法就比较容易为大家所接受。
很清楚，无论借牛与不借牛，结果都是一样。当然，老农借出1头牛后，他就用不着多费口舌去解释其中的道理了。
