大兴区第一中学 刘玉环
课题名称：构建学生数学知识体系六步教学法的实践研究
课题类别：北京市规划办中小幼青年专项课题
课题组长：刘玉环
研究时段：2003年10月—2005年10月
成果形式：研究报告
内容提要：
在我国现行的应试教育中，突出以教师为主，以完成教学任务为目的，学生的学习是在教师的带领下，被动的学习。如果不是要考试，很少有学生愿意学习数学，对数学学习缺乏兴趣、缺乏好奇、缺乏自信已经成为很多学生数学学习的障碍。现有的教学法只研究一节课教学过程，缺少知识与知识之间的联系，遗忘率高。学生学的知识越多，觉得数学越难学。“构建学生数学知识体系的六步教学法”不仅能在一节课中适用，也可以在一单元或一章适用，甚至可推广到其他学科。其核心内容为：（1）师生研究学生原有知识结构；（2）师生共同发现新知识；（3）师生共同研究新知识；（4）学生自己小结；（5）学生自己建构新的知识结构；（6）解决实际问题。该模式强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的主动建构者；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。
关键词：数学 知识体系 教学法 构建
课题组成员：杨娣娟 杨清静 张金德 肖小飞 闫秋艳
一、问题的提出
在我国现行的应试教育中，突出以教师为主，以完成教学任务为目的，学生的学习主要是在教师的带领下，被动的学习。如果不考试，很少有学生愿意学习数学。对数学学习缺乏兴趣、缺乏好奇、缺乏自信已经成为很多学生数学学习的障碍，甚至影响到学生一生。
为解决上述问题，我从1996年起，在高中数学教学过程中，根据建构主义学习和研究性学习理论，参照《数学课程标准》（实验）提出的教学理念和教学建议，重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养，重视创新意识和实践能力的培养，着重改进学习方式。本着强调构建学生自己的数学知识体系、学以致用和面向全体学生、优化课堂教学的原则，尝试运用美国教育心理学家布鲁纳的学科结构与发现学习的教学理论及奥苏贝尔意义学习理论和建构主义学习理论，逐渐形成了“构建学生数学知识体系六步教学法”：
1.师生研究学生原有知识结构
教师站在系统的高度，研究学生已掌握的知识及其相互联系。
2.师生共同发现新知识
对已学过的知识进行挖掘，提出新问题，引出新知识。例如：在给高一新生上第一节课时，师生共同研究初中代数知识结构，引出高中要学习的代数知识概况（如图1-1，其中“？”部分是高中阶段重点学习的内容），使学生对高中代数有了初步了解。
3.师生共同研究新知识
我们认为学习新知识目的是：解决原有问题简单化或解决原有知识解决不了的问题，体现了数学的简单美和学习新知识的必要性。
4.学生小结
学生自己就学过的知识按章节或按知识体系进行小结。
5.学生建构新的知识结构
学生通过小结，建立新、旧知识之间的联系，形成新的知识体系，学习数学思维过程和数学方法。
6.解决数学问题
学生自己用学过的数学知识，解决数学问题，培养学生创新意识和分析问题和解决问题的能力。
其主要特点是：
一是强调学习过程：原有的知识结构—学习新知识—形成新的知识结构—再学习—再形成新的知识结构……
二是把数学知识体系教学贯穿整个教学过程。
三是培养学生应用学过的知识解决新问题的能力。
二、理论依据
1.知识结构
美国著名心理学家布鲁纳认为，知识结构指的是“学科知识的内部联系和规律”。
2.建构主义学习理论
建构主义学习理论提倡的学习方法是教师指导下的、以学生为中心的学习；建构主义学习环境包含情境、协作、会话和意义建构等四大要素。这样，我们就可以将与建构主义学习理论以及建构主义学习环境相适应的教学模式概括为：“以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的。”
3.研究性学习
研究性学习是在教学过程中，创设一种类似科学研究的情景或途径，让学生在教师的引导下，从学习、日常生活及社会生活中去选择和确定研究专题，用类似科学研究的方式，主动地探索、发现和体验。同时，学会对信息进行收集、分析和判断，去获取知识、应用知识、解决问题，从而增强思考力和创造力，培养创新精神和实践能力。
4.自主学习
自主学习是学生在教师引导下的各种学习活动中，表现出较强的自主意识和能力，不依附，不从众，但又善于与他人合作，互相切磋，取长补短的一种学习方式。学生的自主性可以在各种学习活动中体现，常用的自主学习活动方式有自学、讨论、操作、实验、实践等。
5.《数学课程标准》（实验）提出的教学理念和教学建议
（1）基本理念：一是构建共同基础，提供发展平台。二是提供多样课程，适应个性选择。三是倡导积极主动、勇于探索的学习方式。四是注重提高学生的数学思维能力。五是发展数学的数学应用意识。六是与时俱进地认识“双基”。七是强调本质，注意适度形式化。八是体现数学的文化价值。九是注重信息技术与数学课程的整合。十是建立合理、科学的评价体系。
（2）教学建议：一是以学生为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划。二是帮助学生打好基础，发展能力。三是注重联系，提高对数学整体的认识。四是注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力。五是关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。六是改善教与学的方式，使学生主动学习。七是恰当运用现代信息技术，提高教学质量。
三、研究目的与任务
1.进一步对现代教学法进行完善
重点对布鲁纳的发现教学和结构教学以及奥苏贝尔意义学习理论、建构主义学习理论进行融合，形成了“构建学生数学知识体系六步教学法”。现有的教学法只研究一节课教学过程，缺少知识与知识之间的联系，遗忘率高。学生学的知识越多，觉得数学越难学。“构建学生数学知识体系的六步教学法”不仅能在一节课中适用，也可以在一单元或一章适用，甚至可推广到其他学科。
2.让学生自主探究
对“构建学生数学知识体系六步教学法”的实践研究，进一步完善教师的教法，探索教学过程中学生主体地位的落实方法；探索教学过程中“用数学的意识”的渗透策略；探索如何体验数学的美；探索研究性学习和创新能力培养。推动课堂教学结构的改革，提高课堂教学效率。在课堂教学中，让学生经历自主探究的研究性学习，促进学生的创新和数学能力的培养。
3.培养学生的主动性和创新精神
坚持运用“构建学生数学知识体系的六步教学法”教学，改变学生的学法，使学生逐步学会运用数学描述问题、分析问题和解决问题，同时通过数学实践活动，还可以发展学生的主动性、责任感和自信心，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索创新的精神。通过建构主义的学习使学生获得持续的进步，最终使学生学会学习、学会生存、学会发展。
四、研究方法和过程
（一）研究方法
1.行动研究法
在实际的课堂教学中，不断地完善教学流程；优化自主学习的过程。更新课题组教师的教育思想和知识结构，在情感和技能上逐渐适应教育改革的需要。
2.文献研究法
通过查阅相关的文献资料，学习与本课题有关的教育教学理论，借鉴同类或相关课题的成功经验，从不同的侧面对文献中所包含的信息加工和整理，不断创新“构建学生数学知识体系六步教学法”的研究与实践。
3.经验总结法
针对课题研究过程中的实际问题，邀请专家、教研员、教师及课题实施人员进行研讨，加强对研究过程的控制，不断改进操作方法，提高课题研究的质量。
（二）主要措施
1.加强理论学习，提高理论素养
提高课题组成员的理论素养是课题研究的前提，我们结合课题研究的需要，在专家、学者的指导下，系统学习了相关理论专著，认真学习了数学学科教育理论，将教学理论和课题实践结合起来，正确寻找本课题的相关点、生长点、切入点，使我们始终站在现代教育发展动态的最前沿。我校多次组织了课题组成员外出考察学习，吸收名家、名校的先进教育思想。同时，还定期聘请专家、学者来校做学术报告，进修校周树明老师每周四来我校指导课题的研究和实施，并多次请冉乃彦教授、首师大周春宏教授做课题研究的报告。使我们的观念得到了更新，理论水平得到了提高，课题研究基础更加扎实。
2.加强培训，开发教师资源
提高课堂教学效益和提高教学质量是我们课题研究的最终目标，为了使我们的课题研究跟课堂教学紧密相结合，学校在组织“走出去，请进来”的培训同时，更注重学校的校本培训，学校组织特级教师对我们进行系列培训，如“如何说课”，“如何备课”，“如何上课”，“如何评课”，“如何开展课题研究”等，通过各种形式的培训活动，我们习惯于用教学理论去指导教学实践，去分析、反思教学实践，用教学实践去完善教学理论。
3.把课堂教学作为课题研究的切入点，也是课题研究的重点
我们的课题研究始终坚持两个原则，一是跟课堂教学紧密结合，二是为课堂教学服务。为了切实密切两者的关系，要求课题组成员认真研究课题实验方案，并根据本学科特点，进行认真的研究和分析，从而制定出每学期的课题实施方案，再在实施过程中进行不断调整、完善。为此，市教研室的陶礼光老师多次来我校深入到课堂第一线听课，组织课题组成员进行讨论、分析、点评，帮助我们寻找相关点、生长点和切入口，从而使课题研究跟课堂教学紧密结合在一起。同时我校还积极组织我们课题组成员参加了大兴区的各种课题研究活动，对外开设大型的课题研究课，在校内进行课题研究课活动月活动，展示课题研究的成果，推广课题研究的经验，探讨课题研究的方向。
（三）研究步骤
1.课题的初步实施阶段（2003.10—2004.1）
在学校教科室指导下，根据课题申报时的设计制定课题研究方案，并启动研究工作。在大兴区教师进修学校科研室的指导下，召开课题组教师的研讨会，组织系统学习相关理论和课题研究设计方案，在讨论的基础上，对课题设计方案进行了完善，初步掌握了“构建学生数学知识体系六步教学法”的内涵，并对“学生学习数学的态度”进行前测调查。
2.课题的全面实施阶段（2004.1—2005.6）
根据课题研究方案，全面启动课题研究；收集研究信息，不断完善课题的研究；定期召开研讨会，总结交流经验。搜集、制作相关课件并撰写阶段性教育教学论文。
3.课题结题总结阶段（2005.6—2005.10）
整理各类资料，撰写研究报告和论文，邀请专家对课题进行终期验收，并在更大范围内进行教学法的示范和推广。
五、研究结果与分析
（一）完善了教师的教法，改变了学生的学法
经过几年的实践探索、矫正，再实践、总结，已形成了“构建学生数学知识体系六步教学法”。先由数学学科在实验班级试点，再推广到一个年级；从宣传发动、组织实施、学习理论到专家的具体指导，以构建主义教学的理念来组织、落实和实施。特别是在教师教育思想和学生学习方式的改变这两个关键的环节上，得到了充分的体现，使之落到了实处。通过课题研究，教师的观念产生了极大的变化，形成了创新的教育思想。“构建学生数学知识体系的六步教学法”不仅能在一节课中适用，也可以在一单元或一章适用，甚至可推广到其他学科。
第一，形成了全新的学习观。认识到教育的重心要由教育者转向受教育者，突出学生学习的主体性地位。即把学习的主动权交给学生，让学生成为学习的主角。教育的核心要由紧张的“灌输教育”过程转变为愉快的学习活动过程，由被动的接受转变为主动的发现学习。
例如：根据人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第一册（上）第95页习题2.10的要求，设计的一节研究性学习课《预测黄村一中招生情况》课堂实录。
1.引入新课
师：我们学过的函数有哪些？
生：（1）一次函数：y=kx+b（k≠0）
（2）反比例函数：y=kx（k≠0）
（3）二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）
（4）指数函数：y=ax（a＞0且a≠1）
（5）对数函数：y=logxa（a＞0且a≠1）
（6）三角函数：y=sinx
师：还学过函数图像的变换，有哪几种变换呢？
生：共四种，平移、伸缩、翻折、部分翻折。
师：学习函数的图像和性质是为了什么呢？
生：为了应用他们解决实际问题。
师：我们今天学习的内容就是运用函数预测黄村一中的招生情况。（写出课题：预测黄村一中招生情况）
2.新课
师：根据黄村一中1998—2002年招生人数统计，用拟合函数预测黄村一中未来3年招生人数，并且计算误差。
这个题目早已留给大家了，今天的课，就是由同学们互相交流预测的结果。谁首先来讲一讲？
（吴迪同学主动走向讲台，学生鼓掌）
吴迪同学：大家看给出的数据，年份是1998年到2002年，数字比较大，用函数拟合运算量比较大，所以我考虑到换成第一年、第二年到第五年，建立一个以第几年为横坐标，招生人数为纵坐标，描出图像（见投影），大家请看这个图像，如果去掉第二个点的话，这个图像的走向像一个指数函数图像的形状。那么，又因为指数函数图像过（0，1）点，而这个图像向上平移了很多，我考虑到建立一个指数型的函数，为了使它向上平移，我在后面增加一个常数d，在我看来，指数函数是非常陡的，这个函数的图像是比较平缓的，这样我在ax前面增加了一个系数c。设函数的解析式为：y=cax+d。根据图像我选取了后三点，代入这个解析式。
用待定系数法构造方程组，解得a=1.3或a=1，而指数函数中，a不得1，所以a=1舍去，取a=1.3，解得b=331，c=70.预测函数解析式为：y=70×1.3x+331，根据这个函数，我求出了1998年到2002年的招生人数。因为招生人数应该是整数，所以四舍五入取整数。计算误差，由于我选的是后三个点，只计算前两个点的误差即可，我是用原始数据减去计算得出的数据，第1年误差是10人，第2年误差19人，由于误差都是整数，没有出现负数，所以我选用平均数求误差，平均误差为14人。平均误差率3.1%。我认为对于招生人数为五百多人的学校来说，这个误差是比较小的，用这个函数进行预测有一定的可行性。所以，我就预测了未来三年的招生人数，红色的线是原始数据画出的图像，这几个蓝点是我预测的，我最后的预测结果是：2003年招生669人，2004年招生771人，2005年招生902人。（同学鼓掌）
师：大家看一下，有谁也是用指数函数来预测，但结果与她不同，谁来讲一讲？
（孙寒同学主动走向讲台，学生鼓掌）
孙寒同学：请看投影，这是我列出的函数式，这是因为考虑到预测计算量比较大，为了计算简单些，所以我把它的底数假设成已知数，这样可以减少相当一部分的运算量，我把底数定位0.9，其它参数选择和吴迪同学差不多。现在看已知数据的图像，这个函数是稳步递增的，且增幅也不是非常大，所以，我就拟合了这样一个函数。刚才吴迪同学只取了三个点，如果存在比那三个点误差小的点，却没有取到。我认为我的预测方法可以克服她的弊端，我编了一个程序，用这个程序，只要你输入任意两点的横、纵坐标，也就是人数和年份，它可以算出相应的预测数和误差，这样可以比较谁的误差最小。比如，先输入第一年和第五年的数据，第一年人数是432人，年份是1998年；第五年是591人，年份是2002年，这样就可以计算出预测数和误差，现在误差是25.8人。
用同样的方法计算，可以得出用第一年和第二年的数据计算出误差是最小的，误差是22.1人。预测结果是：2003年招生579人，2004年招生600人，2005年招生619人。
师：让我们观察一下孙寒同学画的图像，你从头演示一下，大家观察一下，你们觉得他做得怎样，加以评价。（无人回答）你们看一下他画的图像的单调性如何？
生：单调递增。
师：孙寒同学用0.9为底的指数函数拟合的，同学们想一想，是否合适？
生：不合适。因为指数函数当底数大于“0”小于“1”时，是单调递减函数；底数大于1时，才是单调递增函数。
师：对。从他这个图像上可以看出是递增，应首选以大于1为底的指数函数，而他选的却比1小，虽然他用系数加以修正，就不如直接选用底数大于1的函数，请孙寒同学课下把你的程序再修正一下。
师：还有谁愿意讲一讲？（没有人主动讲解，教师启发）大家看黑板（我们已学过的函数），咱们按顺序找，你们认为用哪些函数可以用来预测？
生：（归纳起来有）一次函数、二次（高次）函数、指数函数、三角函数。
师：咱们按顺序来，用一次函数拟合的谁来讲一讲？
（袁迪同学主动走上讲台，同学鼓掌）
师：你首先解释一下，为什么要用一次函数来拟合？
袁迪同学：我用一次函数的原因非常简单，就是因为一次函数相对简单、好算。请看投影，我选用的横坐标和吴迪说的一样，如果用1998、1999的话，计算太麻烦了，我就把1998当作1，1999是2，依次类推，1、2、3、4、5、6、7然后根据给出的数据，描出点来，真的很像直线。然后再取点，如果取第二点（即1999年）和第五点（2002年）这两点的话，其它三点都在直线的两侧，误差可能会小点。我就选了第二和第五点，并根据这两个点A（1999，468），B（2002，591），设拟合函数为y=kx+b，经计算，k=41，b=-81491（师：大家如有疑问，可以随时打断他）求出函数的解析式后，再计算误差，看是否能行。根据这个解析式，因为我是使用1999年2002年的数据计算的函数解析式，我不用计算这两年的误差，只需计算1998年、2000年和2001年的误差。根据解析式，可以算出：1998年招生427人、2000年招生509人、2001年招生550人，用原始数据减去计算所得的数据，一个是-5、24和19，因为-5是负的，我就选用了平均（有误，应是标准差）法求误差，误差为18人，误差应该算是比较小的。接着就可以做出预测：2003年招生632人、2004年招生673人、2005年招生714人。
师：大家觉得她做得怎么样，请看一下她选的是哪两年的数据？
生：第二（1999年）年和第五（2002年）年的数据
师：袁迪同学，1998年对应的点是在直线上，还是在直线上方？
袁迪同学：在直线上方。
师：如果第一点在直线上，3、4点都在线的下方，预测准确性差一些，第一点在线上方，3、4点在线的下方，这样预测准确性会好一些。我曾给大家介绍过回归函数，假如有三点在直线上，两点不在直线上，一般情况下，我们最好选择其它两点分布两侧比较好一些。请注意：刚才袁迪是用什么方法计算的误差？
生：是标准差，她说成了平均差。
师：对，刚才她说错了，我们得认真听，看她哪有错，帮她修正，使她改进，使她在讲解过程中有所收获。接下来，我们再看一下，还有没有用直线来解决这一问题的？
（刘策同学主动走上讲台，同学鼓掌）
刘策同学：大家知道七种函数，最简单是直线型，把原始数据描成点，样子像一条直线。大家知道，用一条直线，这样误差可能会很大，所以我就选用了三条直线，取点的时候我都取了一次，其中，第四年这个点。我取了两次，因为他既不靠前，也不靠后，可能更能体现我校招生人数变化的趋势，由第一个点和第二个点代入求出解析式，用第三和第四点、第四和第五点分别求出他们的解析式，通过这些解析式，算出其它年份招生人数，在计算出误差是4人。我觉得我的预测比他们的都要好一些，我认为这个预测是可行的，用同样的方法分别算出未来三年的招生人数，再把三年的人数分别做一个平均值，得出预测结果是：2003年招生629人，2004年招生676人，2005年招生732人。
师：大家先想一想，他用五个点画三条线，用五个点最多可画几条直线？
生：十条。
师：十条，他只验证了三条，也没有充分说明选用这三条的好处，刘策同学你再说明，你为什么只选这三条，你知道不知道可以有十条线呢？
刘策同学：知道，我每个点取一次比较平均，第四个点既不靠前，也不靠后，能反映出招生的变化趋势。
师：你认为你的算法优势是什么？
刘策：一是简单，二是误差小。
师：如果真的要选择三条直线的话，可以像袁迪那样说明，你课下再仔细研究，把你的算法加以说明。刚才大家说可以用二次函数来拟合，现在谁来讲一讲？
（刘博涛同学主动走上讲台）
刘博涛同学：看投影，我把给定的点描出来，看第1、2、4点，描起图来特别像一个开口向下的二次函数的图像，剩下的点分布在我画图像的上下方，这样做误差可能比较小，同样，得把横坐标换一下，把1998年，1999年、2001年分别换成，1、2、4代入解析式y=ax2+bx+c（a≠0），解得：y=-92 x2+812 x+393，开口向下有一个好处，能结合实际，现在提倡计划生育，人口越来越少；可是开口向下，也有一个缺点，若干年以后，招生人数将会是负值，我认为，一个函数不能预测很长的时间，预测应该是分段来进行的。所以说，我这个函数只能预测近几年的。我计算一下误差，因为我求解析式代入是1998、1999、2001年的数据，这几年的误差接近于零。把2000（x=3）、2002（x=5）代入解析式，算出平均误差是6.5，这个误差是比较小的，是可以接受的，最后的预测结果是，2003年招生人数是477人、2004年招生459人，2005年432人。
师：做的怎样？
生：计算错了，计算a值有误。
师：错了也没有关系，再修正嘛，你觉得他这个预测合不合理？
生：不合理，我觉得他说的原因好像不大正确，他说因为计划生育，人口减少了，招生人数也减少了，我觉得恰恰相反，虽然计划生育人口减少了，但将要普及高中教育，教育的水平也越来越高，我觉得招生的人数越来越多才对。
师：这是一个原因，除此之外，咱们学校还有比较特别的因素是什么？
生：示范高中。
师：对，大家愿意报考我们的学校，还有没有跟他不同的拟合方法？
袁昌同学：请看投影，我选的是第一个点，第二点和第五个点，描出了一个开口向上的抛物线，因为21世纪是知识、人才、经济的时代，求学的人应该越来越多，我设这个函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），我选取第一年、第二年和第五年为对象，因为我画图也是选取这三点，代入列三个方程，解方程组，求出函数关系式y=1.25x2+32.25x+398.5，我再把第三年、第四年的值代入。求出第三年招生506.5人，第四年招生547.5人，再和已知数据做差，误差分别是16.5人21.5人，这两个数相加再除以2取整，用平均值法求误差，计算出误差是19，我再计算2003年、2004年和2005年招生情况，分别是618人、667人、718人。
师：大家觉得他预测的怎么样？是赞同刘博涛的还是赞同袁昌的，还是都不赞同？从表面上看，袁昌同学做的似乎更符合实际一点，但是解析式怎么样？
李京同学：麻烦，我和他俩做的差不多，就是他们选取的数太大了，我把2000、2001、2002年这三个年份，分别用3，4，5代替，代入y=ax2+bx+c解得a=7，b=-3，c=431.这三个数都是整数，比较简单，同理可求出1998年，1999年的招生人数，分别是435人、453人，再计算误差，用标准差和平均差方法计算误差为11和6，我认为这个预测可行，因为黄村一中每年招生五六百人，我觉得误差是比较小的，我预测的人数是：2003年是665人，2004年是753人，2005年是855人，这三个数是逐年递增的，因为黄村一中是示范性高中，招生人数应该是每年增加的，和北京四中每年招生七八百人相比，这个人数应该是正常的。
师：关于二次函数咱们就说到这里，还有没有其它函数拟合的？
张元元同学：我是用三次函数来拟合的，我设函数关系式为y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）。
师：你为什么想到用三次函数来拟合？
张元元同学：因为我画完了这个图像，看它是递增，我开始没有想到用三次函数来拟合，因为用的数据越多，计算误差越简单。我开始用的是四次函数来拟合，把五个点的数都用上了，计算很麻烦，计算结果是2005年（就是我这里第8年）黄村一中招生人数是负的245人，这肯定是不可能的，所以我认为这种方法不可行，再看已知的曲线，我就试着用三次函数来拟合，又比较符合实际。我也和前几个同学一样，把横坐标换成了1，2，3，4，5，6，7，8，我拟合了三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0），看投影，原来图像下面有一条红色的曲线，把第1，2，3，4，5点连接起来，很像一个三次函数的图像，所以我把第二点舍去，取剩下的四个点代入拟合函数解析式，求出拟合函数为y=18 x3+112 x2+238 x+8472，我开始计算误差，把x=2代入拟合函数，即1999年招生人数，求得452.25，减去原数据，误差是15.75人，误差率为3.365%，应该是比较小的，我的预测结果是2003年665.5人取665人，因为教室坐位是有限的，多半个人也是无法坐下的，应该舍去，不应进位。同理：2004年招生人数是756人，2005年863人。
3.小结
师：大家可能还有很多解答方法，由于时间关系，今天咱们就交流到这里，大家看一下，这是咱们的预测结果，把它记录下来，2003年招生的人数很快就会出来，大家看他们谁的预测结果比较接近实际。
（大家议论纷纷）
师：同样的问题，可以有不同的预测结果，这就是我们常说的数学建模，根据我们刚才做的题目，就招生问题本身而言是非数学问题，我们把它数学化了，本来是弯弯曲曲的一条线，我们的却把它简单地抽象成直线、抛物线等，假设它是一次函数，假设它是二次函数等，再用数学方法加以解决。
总结一下建立数学模型的一般步骤：第一步抽象、简化，假设。第二步确定参数变量，建立数学模型。第三步数学模型参数的估计。第四步数学模型的检验。
4.作业
要求学生提交预测报告或数学小论文。
第二，形成了全新的知识观。通过体验、顿悟、自省、直觉而得到的易于保持、带有一定感情色彩的东西。因此，教师在教学中，要尽量抛弃以“树木”为主的知识观，树立以“森林”为主的观念，真正使教学成为培养创新精神、提高创新能力的有效途径。
例如：对y=xn的图像与性质的教学，归纳出在第一象限的五种示意图。其它y=xn的象限根据奇偶性去画即可，经过这样的概括，学生对y=xn的复杂多变的性质和图像的规律已基本掌握。再把五种类型图像的示意图在同一坐标系中表现出来，从中归纳出n从负数→0→正数，当x＞0时，y=xn由减函数→常数函数→增函数，至此，学生对y=xn的图像和性质已完全掌握。
总之，知识的归纳概括，不仅是学习的需要，而且在今后工作实践中，这种概括能力也是不可缺少的。我们教师要在教学中注重培养这种能力，以适应社会工作的需要，这也是素质教育的一个方面，我们应该认识到讲授知识是一回事；把自己的体会、结论交给学生又是一回事；而把自己如何得到体会、结论的过程交给学生，由学生自己得出结论更是与前面不同的一回事。
第三，形成了全新的教学观。认识到教师要善于创设和谐、宽松的教学情境，促使学生敢疑、善疑，要鼓励学生标新立异，探寻具有创新意义的新方法。教师在教学中应尽量借助直观教具，或采用现代教学技术手段，充分展示知识发生的过程。
例如：在《双曲线概念》一节教学中，我设计了这样几个标题逐一研究。
1.概念的形成
把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，点的轨迹会怎样呢？它的方程会怎样呢？由学生做实验（每两人一组，用两段细线，一张白纸，设长线-短线=2a），如图1-6所示。
问题（1）设F1、F2为两定点，使|F1F2|＞2a，长线、短线分别栓在F1、F2上，另两端对齐，设为M，M移动，保证|MF1|-|MF2|=2a，这样就画出了曲线的一支，再把长线、短线互换，同样的方法画出另一支曲线，像以前学过的什么函数图像一样？
问题（2）调整F1、F2的位置，使|F1F2|=2a，重复上述过程，结果会怎样？
问题（3）调整F1、F2的位置，使|F1F2|＜2a，重复上述同样的实验，能进行吗？为什么？
2.学生根据以上实验的过程总结双曲线的定义
3.阅读教材104页，对照自己总结的定义，用红笔改错，写出简炼的定义
4.有关定义的几个思考题
（1）去掉“绝对值”三个字可以吗？为什么？
（2）不写|F1F2|＞2a可以吗？为什么？
（3）不写“平面内”可以吗？为什么？
5.巩固练习
已知F1（-8，3），F2（2，3），动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a分别为2、3、5时，P点的轨迹分别为什么图形？
第四，形成了全新的教师观。教师角色的重要转变之一就是由“教”者变成“导”者。教师应引导学生探索未知领域，寻找解决问题的方法。教师应正确对待每个学生的个性，并善于针对学生的不同情况给予不同疏导。教师要采用发现式、开放式、启发式的教学方法，指导学生独立思考和动手操作的能力。教师要努力劝导学生，调动学生的主观能动性，使之积极参与教学过程。
第五，形成了全新的科研观。具有一定的教育科研能力是教师必须具备的一项重要素质。教研能力的培养必须结合自己教育教学活动来进行，比如对同一教材运用不同的教学方式，组合种种教具和方法展开教学，从而培养自己的教学创新能力。提高教研能力的根本目的是为教学服务，即达到以教研促进教学水平不断提高的目的。做科研型教师就要边教学边教研，在教学中发现问题，通过教研解决问题，形成教学和教研相互促进，共同提高的教学新模式。
（二）提高了学生的整体素质
实验班级在开展课题研究的前后，学生对课堂教学的兴趣有明显提高；学生喜欢上这样的课，课堂气氛比较活跃，能够在民主宽松的学习环境中，能够最大限度地掌握知识，启迪智慧，激发学生思维的积极性和创造的火花。开展数学课外活动，开阔尖子生的视野。为了丰富学生的课外活动，我们开设了数学建模选修课，有100余人参加。后来，这些人都参加了2003年北京市高中应用数学竞赛预赛，27人进入决赛，有7人获二、三等奖，同时，我校也荣获北京市优秀组织奖。
从教学的组织形式来看，应用“构建学生数学知识体系的六步教学法”教学，无论在教学内容的确定、教学过程的安排、教学评价的目标和方法、教学空间的拓展等方面，原有的僵化而封闭的教学形式得到了改变，构建了有利于发展学生潜能和创造性学习的开放性的教学体系，改变学生的学法，使学生逐步学会运用数学描述问题、分析问题和解决问题。例如：在复习《函数》时，为学生设计了一道研究性习题，通过搜集大兴一中2000—2004年招生人数，用拟合函数预测未来3年的招生人数。学生们所收集的数据，结合自己对这一问题的理解，做出解答。共有70余种预测结果，使用了6类函数进行拟合，有的学生使用了现代信息手段（PowerPoint、几何画板、VB编程等）进行预测结果讲解、展示，指出其它解法和自己解法的先进性和不足。在误差评估中，有的同学甚至考虑了示范性高中、计划生育等因素，课堂气氛热烈融洽，真正使学生获得亲身参与研究探索的体验，从中学会了分享与合作。通过解决实际问题，不但能使学生深刻理解所学的知识，而且能培养学生用数学的意识和解决实际问题的能力；不但对培养学生收集信息、处理信息的能力和模型化的能力有重要的作用，而且对培养学生的合作意识、表述思想和交流成果也有重要的作用。
（三）提高了数学教学质量
几年来，我们坚持使用“构建学生数学知识体系的六步教学法”教学，使学生逐步形成了一个比较完整的数学知识结构，运用数学知识描述问题、分析问题和解决问题的能力较强，数学成绩突出。以今年高考数学成绩为例，我校今年高考理科数学最高分140分，130分以上11人，校平均分103.5分，超市平均分25.5分；文科数学最高分141分，130分以上24人，校平均分113.9分，超市平均分42.7分，创我校历史最好水平。从下列图表中不难看出，在考生生源没有质的变化下，其它学科成绩基本与去年持平，略有增减，而数学成绩却有明显提高。
（四）促进了我校教师队伍的建设
通过课题研究，改变过去陈旧的教育观念，形成了符合现代教育发展趋势的教育思想，初步掌握了教育科研的过程和方法，并以此来促进课堂教学的改革，从而提高教学的水平。在开展课题研究过程中，我们举办了有关教育科学研究的知识普及讲座，开展了教育调查，开设课题研究与课堂教学结合的研究课、实验课，等等，积极进行课题研究和课堂教学相结合的探索。其中，课题研究和课堂教学相结合的实验课的形式深受广大教师的欢迎，为广大教师提供了如何开展科研的示范，从中涌现出一大批优秀的科研型教师。这些教师有一定的理论基础，在课堂教学中表现出自己明确的教学思想，教学环节的安排和教学方法的选用均有自己的设计思想，教学水平提高较快。比如从我们平时听课的情况来看，在说课、上课的过程中可以看出，有过深入研究的教师课堂教学指导思想明确，教学设计能体现出在课题研究目的指导下的课堂教学策略。近两年来，参与课题研究活动的教师中，1人被评为北京市数学学科骨干教师，2人被评为区骨干教师，3人已成为校教学骨干。
六、课题研究展望
第一，通过这次市级课题的研究和课题的结题，已积累了一些课题研究的经验和可操作的方法，同时我校又被区教育局确定为教科研基地，有望更多地得到专家的指导，教师可得到更多的培训机会，这样我们的课题研究就可望在原来的基础上更规范、更科学、更卓有成效地进行。
第二，通过市级课题研究的实施，已为我校的数学组课堂教学构建了基本的教学模式。我校的新、老教师都可从最基本的模式出发，充分发挥自己的特长和教学经验，构建具有自己教学风格的课堂教学模式，为学校培养一批具有较强科研能力和扎实教学基本功的数学骨干教师，努力实现从“经验型”向“科研型”的模式转轨。
第三，通过两年的课题研究工作，教师已深深认识到教学的发展离不开科研，学校的可持续发展离不开科研，课堂教学质量的提高和学生综合素质的提高都离不开科研，教育科研已成为教师的自觉行动和目标追求，已深入到了教师的教学理念中，学校浓厚的教科研氛围已营造起来。我们课题在大兴区推广会更广泛、更容易。
参考文献
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