数字与记数法
数字在中国的最早出现，是在新石器时代的晚期，距今大约6000年左右。在这之前，我们的祖先采用“结绳”、“契木”等办法来表示数的概念，实现记数，即所谓的“结绳记事”、“契木为文”的传说。其实，甲骨文中的“数”字就取自结绳的形象。这种情况在世界的其他一些民族中也有发生，有的甚至到近代还保存着结绳记数的方法。
契木或其他形式的刻画记数是数字产生的基础。当人们觉得可以通过按某种规则的刻画来表达数的时候，数字也就自然而然地产生了。
根据现有的资料来看，最迟在半坡时代我国已经有了可以称得上数字的刻画符号，如见之于半坡出土的陶片上的数目字（右图示）。
虽然字形没有那么整齐，但已十分规范。后来的考古发现，除了进一步加强上述考证外，还充实了一些数字。如，与半坡遗址差不多时代的陕西姜寨遗址中出现了“”（1）、“”（30）；距今四千年前的上海马桥遗址出现了“”（5）；稍晚的山东城子崖遗址中出现了“”（12），还有“”（20）；“”（30）。是将二个（10）合在一起；是将三个（10）合在一起。这种合写形式的出现不仅标志了数的概念的发展和表数能力的提高，而且证实了十进制记数法已经使用。
进入商代以后，随着农业成为社会生产的主要成分，手工业的分工和商业的产生，相应地产生了高度发展的殷商文化。这时，已有了所谓“卜、史、巫、祝”这样的文化官。他们作为社会的管理人员，负责记人事、观天气与熟悉旧典。专职书记人员的出现，使得原先零星粗疏的表数符号得到提炼和整理，进而创设出系统的数字和记数法来。商代产生的甲骨文数字就是目前所知的我国最早的完整记数系统。
甲骨文是商周时代刻在龟甲兽骨上的文字，是“巫”、“史”们为商王室占卜记事的主要手段。从现在发现并已认识的1700多个甲骨文字中，能够清理出整套数目字，共13个。前9个是数字，后4个是位值符号。与其他甲骨文字一样，甲骨文数字采用了会意、形声、假借等比较进步的文字构造法，说明它是一种具有严密文字规律的古文字。
甲骨文记数系统属于十进制乘法分群数系。这种数系由1至9九个数字和若干十进制的位值符号组成，记数时先将两组符号通过乘法结合起来以表示位值的若干倍〔也有例外，如（20）、（30）、（40）是重复书写，而不分别写成、、〕。如（5）与表示10的符号“”通过乘法结合起来，写成，表示10的5倍，即50；又如（3）与表示100的符号“”通过乘法结合起来，写成，表示100的3倍，即300；同样，表示2000，表示20000。然后将分群后的位值符号组合（相加）起来，达到完整表数的目的。例如，，表示673；，表示2356等等。现已发现的最大的甲骨文数字是30000，写作。
甲骨文记数方法一直沿用到现代，期间字体虽有变化，但记数原则不变，仍然是乘法分群原则。下图列出的是历代记数符号，将商代甲骨文、周代金文、秦代篆文以及现代数字加以比较和分析，从中可以发现一些变化规律。
周代金文记多位数的方法，原则上与甲骨文一样，如659，记作“”。其中是又字，写在数字之间起隔开位值的作用，这在商代甲骨文记数中已有出现，因此，形式上差异仅是50的写法不同，金文是，甲骨文是。汉代以后，多位数记法废弃了用“”字隔开的做法，位值的倍数也不采取合写，而是采取位值符号紧接在数字后表示，如300，不写成，而写成。但记数系统仍是乘法分群系，如2356，被写成，即现在的二千三百五十六的前身。
这种表数制度还算不上是十进地位制记数法，但它确实向地位制靠近了一步。如果把“”、“”、“”等符号曳去，再引入表示0的符号，那就是完全的十进地位制记数法了。
现代中国数字实际在唐朝以前已经形成。由于这10个字简单明了，我国少数民族记数时也常采用它，或者把这10个数字稍作变动。北京图书馆藏有一本苗文的历书，全部用了汉文的10个数字，并且以两个十作二十、三个十作三十。唐代还全面使用了所谓大写数字，即：
壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾
大写数字常出现于比较严肃的场合，所以后来人们把这些大写数字叫做“官文书数目字”。
算筹与筹算
记数与计算不是一回事，单有记数法不足以构成数学。数学至少是计算的学问。只有进入专门的算的实践，揭示其规律，总结出技术，进而形成算理，才能称得上有了算术——一种初级的数学理论。中国古代数学是随着算筹的发明而形成的。算筹，简称“算”、“筹”、“策”等，亦称“筹策”，是中国古代用于计算的工具。一般用竹制成，也有用铅制、骨制或象牙制的。本世纪50年代以来陆续出土了一批算筹，形状大小与文献资料记载相仿。战国时的算筹平均长19．5厘米，西汉算筹大约长13厘米，径粗0．3厘米。算筹太长太细不便摆动，所以后来的算筹逐渐改短，增粗。横截面形状除圆形外还出现正三角形或正方形的。算筹产生于何时，至今未能有一个比较确切的说法。有的说“大约从西周开始已使用竹筹，在毡毯上或在算板上进行各种运算”，有的则说算筹是长期演变而成的，至迟在西汉时已普遍使用。各种说法在措词上都比较慎重，时间幅度也很大，彼此互不矛盾。从先秦典籍中的记载来看，算筹很可能起源于原先用于占卜的蓍草。由于占卜过程中，需借助于蓍草来表示数和简单的计算，久而久之，蓍草就成了计算工具。“算”字古体作“祘”，由二“示”合成。“示，神事也。”这又一次说明，古代算术与占卜的关系。从时间上说，大约可以认为，算筹作为人造计算工具的产生是在西周或更早些，而普遍深入使用是在秦汉。
用算筹摆成数字进行计算称之为筹算。所以“算术”的原意是指筹算的技术。这本是中国数学特有的名称，现在涵义有了变化。算术这一名称恰当地概括了中国数学依赖于算筹，以算为中心的特点。从一定意义上说，中国古代数学史就是中国筹算史。
四则运算
筹算数目是由算筹摆出来的，9个基本数的摆法有两种，一种是纵式，一种是横式。
在这基础上，利用位值原理和纵横相间的办法可摆出一切多位数。例如，238可摆成，，6803可摆成，其中空位处表示零。可见，我们中国很早就发明和使用十进位制记数法了。把筹的排列形式记下来，就成为算码。明代珠算盛行以后，筹算逐渐淘汰，这时，筹算算码在数学中起了很大的作用。
与笔算一样，筹算的基础是加减乘除四则运算。筹算四则运算的程序与珠算基本相同，从高位向低位进行。加减法最简单，摆上两行数字，从左到右逐位相加或相减就可以了，和或差置于第三行中。乘除法也不难，基本过程仍然是放筹与运筹两个过程。乘法分三层放筹，上下层放乘数（无被乘数与乘数之区别），中间放积。运算时由上层乘数的高位起乘下层乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，最后将逐次相乘之积的对应位上的数相加即可。
当然也可以将第二次乘得的结果随时加到中层之中。
筹算把除法看作乘法的逆运算，如《孙子算经》所说：“凡除之法，与乘正异。”基本步骤也是放筹与运筹。放筹时也分三层，上层放商，中间放被除数（古时称实），下层放除数（古时称法）。除数摆在被除数够除的那一位之下，除完向右移动。
乘除运算需要口诀，古时称之为“九九表”，从“九九八十一”起到“二二得四”止，共36句。没有“一九如九”到“一一如一”等九句，顺序也与现今流行的相反。九九表产生的时间不会晚于春秋时代。有故事说，春秋时期，齐桓公（前685～前643）招聘了一个以九九表自荐的粗野汉子。其实，春秋战国时代的不少著作如《荀子》、《淮南子》、《管子》等都已提到了九九表，足见它当时已为常识。
算码
筹算数字是摆成的，如果将摆成的数字写在纸上或者竹片等物上，就成了数码。中国古代称用作书写的竹片叫做竹简，木片叫做木简或牍。在已发现的居延汉简和敦煌汉简中都可以看到这种筹码数字。宋朝司马光（1019—1086）著《潜虚》，其中数码字即以纵式的筹码为基本样式，对笔画较多的“”（5），代之以；为避免与（1）混淆，将纵式筹码的（10），代之以“”，这样1～10的数码成为以下样子：
此后，各家又对笔画较多的“”和“”作了修改。以“”代“”，这是因为“”有示四方之形；于是“”被自然地改成“”或“”，仍然表示5+4的结果。根据这个原则，5被改写成“”或“”。“”和“”下面的“”是“0”的记号。
数码不像筹码那样受筹的限制，其形式会受书写者的习惯而改变。如“”（5）与“”（9），各人写法时有不同，其中“”、常被便写成“”，“”则被便写成“”。
数码，尤其是便写数码的出现不仅方便了日常的记数，而且方便了数学著作的撰写，为中国古代数学在民间的传播起到了积极的推动作用。
算书的出现
中国古代算书最早出现于何时，需要经考古不断明确。现经发现的最早算书是1983年12月在湖北江陵张家山出土的一本抄于西汉初年约公元前2世纪的竹简算书——《算数书》。既然是抄本，原本的成书时间应该更早，大约在战国时期。这是一部比较完整的数学专著，全书采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数的四则运算、比例问题、面积和体积问题等。将算题归类并注以标题的做法，反映了著述者对数学知识进行系统整理的尝试，也可以说是理论建设的开始。
这一理论建设的实际进程后来受到数学教育的影响。前面谈到中国数学教育素有传统，早在西周时期，数学就作为“六艺”（礼、乐、射、驭、书、数）之一被列入教育的内容。据《礼记》内则篇记载，按周朝的制度是“六年（即6岁）教之数与方名，……九年教之数目，十年出就外傅（教师），居宿于外，学书计”。《前汉书食货志》也说：“八岁入小学，学六甲、五方、书计之事。”说明数学在当时教育中已经受到相当的重视。为了加强对贵族子弟的教育，国家还设有专门官员“保氏”，“以养国子（官家子弟）以道”。显然，这样的教育不是随随便便进行的，它不仅要求有教材，还要求教材具有针对性和可接受性。因此，所教的“六艺”，即六门功课都制订了细目。其中数学的细目有九个，称为九数。九数具体包括些什么内容，《周礼》没有记载，但据东汉末经学家们注解，九数包括：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要等。这些细目与后来《九章算术》的要目相差无几，这说明《九章算术》与早期数学教育的内容存在着源流关系。事实上，后来刘徽为《九章算术》作序时，特意强调了“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣。”九章既是周礼九数的演变，自然也就证明了数学教育对中国数学理论建设的重要影响。从“九数”到《九章算术》期间还曾出现过一些算书，只是书缺有间，史料不多，有关的情况很难详考。据《汉书·艺文志》术数类著录，有《许商算术》26卷和《杜忠算术》16卷。这两部书约成书于公元前1世纪后半期，可惜书均已失传，难详其情。但从“算术”这一专门名称的出现，说明关于推算之术已受关注，并被列入教育计划。
公元前成书的算书还有《周髀算经》。这部书写成大约是公元前100年前后，或在更晚的年代。它原是宣传盖天说的天文学书，但天文学离不开数学，所以书中涉及不少数学内容。其中包括复杂分数运算和勾股定理的应用。唐朝选定数学课本时，也把它作为算书列入“算经十书”之一，另署名为《周髀算经》。
总之，从数学知识的早期积累到中国数学系统理论的奠定，期间经过一个逐步完善的过程。促使这一过程发展的因素，除了数学知识的进一步充实之外，数学教育的需要起了很大作用。数学是当时唯一被列入教育内容的自然科学。尽管从整个社会来说，数学教育的普及面是不广的，但作为中国人所擅长的科目，受到历代的重视也是事实。
数学被作为六艺之一列入教育内容，说明当时把数学看作一门技艺，这种技艺主要体现在算法上，因此中国数学在进行理论建设的时候，把算法作为考虑问题的基本出发点，力图建立以题解为中心的算法体系。
算经十书
唐初作为“算学”教科书的十部算书，除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《缀术》以外，在中国数学史上甚有影响的还有《孙子算经》、《张邱建算经》和《缉古算经》等三部。其余的三部，即《五曹算经》、《五经算术》和《夏侯阳算经》则影响较小。下面，对前面没有提及的算书作补充介绍。
