这种挑战可以被称作“给人以虚假希望的绿洲”，或者简单地称之为“绿洲陷阱”。在沙漠中，绿洲并不是旅人的目的地，而只不过是旅行途中的一个用来休憩的小站。然而，对于旅人来说，要离开生机勃勃的绿洲，继续在漫无人烟的黄沙中孤独地穿行，并自信能够到达最终的目的，这是很困难的。同样地，需要突破性思维的问题往往诱使人们安于已经很好但却不是最正确的答案。要离开这种答案继续探索也是很困难的。
前面以克朗代克淘金热这一类比深入到事物的表面之下，揭示了突破性思维的某些基本结构特征。任何解决问题的过程，都可以被描述成由许多可能的方法和部分答案构成的空间，也就是在相关问题的“可能性空间”中进行勘探的过程。不同种类的问题的可能性空间有着不同的结构。具体说来，突破性问题倾向于有如下具体的结构特征，这些特征使得顺序推理不适用于这类问题：巨大的可能性的荒野、毫无线索的高原、狭窄的勘探山谷和给人以虚假希望的绿洲。
让我们来看看下面这个经典的顿悟性谜题，它完全是一个纸面上的克朗代克问题：
请仅用一笔连续画４条直线，将所有９个点连起来。
通常，读者可能都希望试着解决这个问题，然后再接着往下阅读。
这个问题具有克朗代克淘金热问题的所有特征。这里存在一个可能性的巨大荒野，我们可以以多种方式来画这４条直线，从几个不同的角开始，朝不同的方向画。这里还有一个毫无线索的高原，几乎没有任何线索，告诉我们该如何逐步思考，并最终得到问题的答案。这种方法和另外一种方法看起来似乎都没有什么差别，而且对于普通人来说，这些方法都没有奏效——总是有一点游离在这４条直线之外。
我们先来看看克朗代克淘金热中的第四个特征——给人以虚假希望的绿洲。这里，看起来马上就能解决问题的那些答案具有极大的诱惑力。除了其中某点之外，我们很容易将所有其他点都连接起来，因此，可能只要对这类似乎离答案很近的方案作个调整，能将９个点全部连接起来了
然而，这个问题所具有的奇特的欺骗性特征也符合克朗代克淘金热问题的第三个特征——狭窄的勘探山谷。大部分人都自然而然地将他们画的直线局限在这９个点构成的正方形的范围之内。然而，真正的答案却落在这个范围之外。能成功解决这个问题的人允许他们画的直线延伸到这个正方形之外。
总之，要求突破性思维的问题都是克朗代克淘金热的４个特征的某种程度的结合，正是克朗代克淘金热的这４个特征使得此类问题变得不合乎逻辑：无法通过顺序推理获得答案。
当然，这里并不是说合乎逻辑的问题和不合乎逻辑的问题之间的区别是绝对的，即它们之间根本没有什么中间形态。事实上，克朗代克淘金热的４个陷阱在不同问题中存在的程度是不同的。不合乎逻辑的问题和合乎逻辑的问题之间的区别，在某种程度上，就像危险的狗和温顺的叭儿狗之间的区别一样：它们之间的区别并不是清晰的，它们代表的不过是一个连续的两个极端。真正危险的狗是处在高大、顽劣且具有侵略性这一极端的，而叭儿狗则是处在娇小、柔和且温顺这一极端的，在这两个极端之间还存在着许多不同类型的狗。
克朗代克淘金热的４个特征揭示了为什么好运气在突破中扮演了重要角色。这些特征也指出了我们迈向能够增加运气、提高几率的思考方式的方向。我们确实无法以顺序推理来解决不合乎逻辑的问题。但是，当我们接受此类问题所具有的克朗代克特征、并且以“克朗代克的逻辑”行事时，这些问题就可能迎刃而解。此时，良好的突破性思维全面超越了顺序推理的路径。
大家都知道突破性思维是一项艺术，也是一门技术，寻根问底的精神和丰富的经验使得人们更可能游刃有余地进行此种思维。对它进行系统化梳理，以揭示其基本模式和策略，这是可能的。突破性思维可以被分解为４个克朗代克逻辑运算，这４个逻辑运算与克朗代克淘金热中的４个挑战一一对应。它们可以被分别称作“漫游”、“探测”、“重构”，及“离开”。
这４个运算都可以适用到前面提到的“９点连线”问题上。首先让我们来看看各处“漫游”。“９点连线”问题中，有各种可能的方式来画这４条直线。“漫游”意味着广泛地探索所有可能性，试试这种方法，再试试另外一种方法。漫游往往还意味着通过测试所有可能性，对相关问题获得系统性的看法。
我们可以利用９个点组成的图案的对称性来压缩可能性的数量。实际上，我们面对的只有３种可能性：从中心点、边上的点或角上的点开始画直线。由于这个图案的对称性，从逻辑上来说，我们到底是从哪个边上的点或者哪个角上的点开始，实际效果都是一样的。因此，只存在３种可能性。再进一步的分析表明，可能性实际上只有两种。中心点实际上算不上什么我们要画的直线的起点，因为在画第一条直线时，我们会自然而然地将它和某个角上的点或者边上的点连接起来，因此，我们首先只需从某个边上的点或者某个角上的点开始就行了。
现在让我们来“探测”隐藏在看起来似乎“毫无线索的高原”中的线索。当我们试着开始在这个“９点连线”问题中画直线时，我们几乎没有任何线索。不论从哪个点开始，都不奏效。而且，我们也不清楚该朝哪个方向前进。“探测”意味着努力寻找给我们指明方向的线索。例如，我们可以仔细地重新阅读题目，看看它的确切含义到底为何，或许我们就会发现题目根本就没有说直线必须在这９个点构成的方框的范围之内。需要突破性思维的谜题中缺乏的条件——本来应当说明但是却没有说明的东西，往往就是我们的线索所在。
接着，让我们来对这个问题进行“重构”，以解决所谓的“狭窄的勘探山谷”问题。当毫无成效地将精力耗费在这个“９点连线”问题上一段时间之后，我们可能注意到我们实际上陷入了没有尽头的循环之中，一遍又一遍地重复着同样的画法。这个时候我们就可能很疑惑：“到底哪些约束条件是我想当然地加进来的呢？”之后，我们可能放弃原来的框框，转而寻找更加解放我们思维的框架。例如，我们可能注意到我们画的直线一直都局限在这９个点形成的方框内，这样，我们就可能将眼光投向更为宽阔的范围。
最后，让我们试着“离开”，以避免“给人以虚假希望的绿洲”。在“９点连线”这个问题中，许多方法都能画出４条直线，将其中８个点连接起来，只剩一个点桀骜不驯地游离在这些直线之外。这些方法几乎就能成功了，但是却不是真正的答案。我们可能会受困于此种似是而非的方法，幻想着可能只需作稍许改变，就能够马到成功。“离开”就是要让我们离开那些尽管诱人、但却无法真正解决问题的方法。
这４个运算过程都清楚地说明了这一点：突破性的思维方式只是增加了运气。不论是“漫游”、“探测”、“重构”还是“离开”，都不可能确保试图解决“９点连线”问题的人能够成功地跳出这９个点构成的方框的局限。但是所有这４个步骤都增加了此种几率。
充满各种可能性的荒野的征兆：令人感觉不知所措。存在大量的可能性，但是这些可能性中鲜有奏效的。
对策：进行大范围的“漫游”。“漫游”是为了在可能性的空间内大范围地来回走动，看看这里，瞧瞧那里，而不是在某个地方逗留过久。后面有一章将要讨论的“集思广益法”，就是一种典型的“漫游”方式。“漫游”可以是漫不经心的，但也可以是系统性的。我们可以进行全面的搜索，同时尽力避免重复劳动。人们往往可以压缩需要搜索的可能性的空间。有时候人们可以利用这个可能性空间中的重复性，从而只搜索其中的一部分，但是实际上却等于搜索了整个空间，正如我们在“９点连线”这个问题上对对称性的利用那样。有时候人们可以马上排除大量的不太可能的可能性，而只专注于余下的那些可能性。
似乎毫无线索的高原的征兆：毫无线索。没有什么明显的能指明正确的前进方向的线索。
对策：“探测”隐藏的线索，尽管看起来似乎没有什么线索，但是如果人们到另外一个地方去搜索或者更加仔细地观察不合理之处或其他可疑的特征，就可能发现隐藏的线索。因此，在“９点连线”这个问题中，不能仅将注意力放在自己画的那些直线上，而是应当回头重新看看题目，以寻找线索。题目中并没有明确将那４条直线限定在９个点构成的方框内，这就可以被看作一条线索。
狭窄的勘探山谷的征兆：局限性。人们可能陷入了死循环之中，不断地重复着同样的方法。这表明人们进行的搜索可能被不必要的限定在某个范围之内。
对策：进行“重构”，当搜索看起来似乎进入了死循环时，人们就应当看看隐含的假设、问题的描述以及其他因素是如何将自己局限在了一个有限的区域内的。进行“重构”通常是有效的：对主要假设提出质疑或者以一种全新的方式来表述相关问题，扩大或者转移搜索的范围。
给人以虚假希望的绿洲的征兆，受了迷惑。那种看起来顺其自然的、必然的简单方案或者不完全的方案迷惑了人们，使得他们一直固执于这些方案。
对策：“离开”那些虚假的希望，这就意味着意识到了那个绿洲的性质，并且将之抛于脑后。人们可以重新回到早先的某个点，从那里选择另外一条道路前进——完全放弃当前的方法，去试试其他方法，或者可以通过扩大或改变问题的定义的方式来避开原来的方法。有时候，这个绿洲是人们启程前行的非常好的起点，但条件是人们必须真正离开它。
读者应当注意到这４个运算过程之间都存在着某个共通性，它们都要求人们去发现新的可能性。此外，每个运算过程都有助于推动其他运算过程。例如，由于机缘凑巧，进行大范围的漫游很可能让人们“探测”到此前没有注意到的一个隐藏线索，然后，以一种全新的方式对问题进行“重构”，或者“离开”那些虚假的希望。
但是这４个运算过程又不是相互等同的，它们导引人们向不同的方向努力。专注地付出努力去“探测”、“重构”或者“离开”，比之毫无目的的漫游来说，更可能让人们实现这些目标。同样地，对问题进行“重构”可能有助于“漫游”、“探测”、“离开”，但是它并不能非常可靠地取代后三者的作用。
因此，突破性思维的４个运算过程只有相辅相成，共同作用，才能够解决“克朗代克式的挑战”。
各种谜题构成的世界给了我们锻炼突破性思维的体育馆，但是这种锻炼的真正收获体现在现实世界之中——这里不合逻辑的问题大量地存在着、发生着。
我们来看一下这个例子：
安迪已经３０多岁了，他长期以来一直对自己的工作非常不满意。于是，就想换个完全不同的工作，但是到底换什么工作呢？当他开始考虑他可能从事的工作时，他发现他的背景让他可以从事多种职业。
尽管这个例子和前面提到的“９点连线”问题或者需要洞察力的科学问题不是非常相同，但是从一种通常的意义上来说，它和这二者还是相同的。安迪已经进入了克朗代克式的可能性的荒野了。通过系统性的突破性思维，安迪可以增加他的运气。
首先，安迪“漫游”在荒野之上。安迪可能进行系统的探索。他可以列出清单，查阅相关资料以刺激他的灵感，将类似的工作放在一组，这样，他就完全覆盖了整个可能性的空间。通过排除那些尽管看起来诱人、但他没有真正能耐从事的职业，安迪可以大幅地压缩这个空间，同时却不丧失任何真正的机会。当然，安迪可能不会采用过于狭隘的标准，以致这些标准最后指向的又是他当前的工作。
其次，安迪开始“探测”他离开“高原”的路线。假设安迪正在考虑的所有新工作看起来都不错，但是没有哪个工作比较理想——它们都没有向安迪指明向更好的可能性前进的方向。因此，安迪就发现他陷于一个似乎毫无线索的高原之上了。他仔细地考虑自己的工作经历，自问：“在什么时候我感觉良好呢？在什么时候我又感觉不那么良好呢？”他可能发现真正起作用的可能是同事间的相互关系。这样一来，他需要的就是在他现在的工作环境中努力与同事建立更好的人际关系，或者从头开始，找一个新的工作环境，这个工作环境更有利于他与同事建立良好的人际关系。
