这里要介绍这样几个问题：
对于哪些指数FLT是真的；关于FLT的哪些工作还在进行；近几年的几项重大成果等。目的是指出重大的历史发展。由于解决问题所需的各种方法，包括不同的技术，一般都要涉及高深的知识，这里只能简要地介绍结果。
（一）我们给出10个现代结果，其中某些结果在后面有关部分里还要作进一步说明。
1.瓦格斯塔夫（1977年）：对于任何一个素指数p＜125000，FLT成立。后来，美国加利福尼亚大学伯克利分校的罗瑟教授，又把p的上限从12.5推到4×106。
2.莫利斯玛等（1948年）：对于每一个素指数p＜57×109的FLT第一种情形成立（或者按照波利尔哈特等的结果，在最坏情况下，p＜3×109）。事实上，对于更大的素指数p第一种情形也成立。
3.对于现在已知的最大素数FLT第一种情形成立。目前已知的最大素数是梅森数M86243＝286243-1（形状如2n-1的数叫梅森数，记作Mn＝2n-1），这是1983年计算机专家斯洛文斯基在每秒运行一亿次的超巨型计算机CRAy-1上运行5782秒得到的结果。
上面的结果是乐观方面。但是，一些数学家考虑FLT可能存在反例。对于给定的指数p，最小的反例有多大呢？
4.依恩柯利（1953年）：如果对于指数p第一种情形不成立，x，y，z是整数，0＜x＜y＜z，xyz不能被p整除，xp＋yp＝zp，那么x＞2P3＋Plog（3p）P在第二种情形下，x＞p3p-4和y＞12p3p-1，此外，介绍于1958年证明在第一种情形下，y＞12（p2p＋1）p其中P是所有这样的素数q≠p的积，q-1可以整除p-1。
费马方程也可能存在有限个解，这方面有：
5.依恩柯利和海罗（1964年）：1）给定p和M＞0，至多存在有限组（x，y，z），使0＜x＜y＜z，xp＋yp＝zp，且y-x，z-y＜M。2）给定p，至多存在有限组（x，y，z），使0＜x＜y＜z，xp＋yp＝zp，且x是某个素数的幂。
对于每一个这样的数组，我们有有效的控制（这是很重要的新的特性）：x＜y＜exp{\[2p（p-1）10（p-1）\]1｝注ex可表示为exp{x｝。
另一类结果，对于偶指数有如下定理：
6.特亚尼安（1977年）：如果x，y，z是非零整数，p是任意奇素数，并且x2p＋y2p＝z2p，那么2p整除x或者y。换句话说，对于每一个偶指数FLT第一种情形是真的。
FLT对于无穷多素指数成立的可能性问题。在这方面，我们有：7.罗特凯也维奇（1965年）：如果辛泽尔关于梅森数的猜想是真的，那么存在无穷多素数p，关于p，FLT第一种情形成立（辛泽尔猜想：存在无穷多非平方梅森数）。
下面的结果与分圆域Q（ζ）的类群有密切关系，这里ζ是1的p次原根。
8.范迪弗（1929年）：如果Q（ζ）的类数的第二个因数h＋不是p的倍数，并且所有贝努利数B2np（n＝1，2，…，（p-3）／2）的分子都不是p3的倍数，那么对于指数p，FLT成立。
9.爱斯勒（1965年）：如果对于p第一种情形不成立，那么p\[p\]-1整除Q（ζ）的类数第一因数h·（其中[a］表示不超过a的最大整数），并且Q（ζ）的理想类群的秩p大于p-2。
10.波鲁克内（1975年）：如果对于指数p第一种情形不成立，那么p的非正规指数，ii（p）＝＃｛k＝2，4，…，p-3｜p整除贝努利数Bk的分子｝满足ii（p）＞p-2。
（二）近几年取得的几项重大成果如下：
1.前些年美国数学家曼福得证明，如果xn＋yn＝zn有整数解，那么这样的解是“非常少的”。这个结果意味着FLT成立的可能性很大，它是目前关于FLT的最好结果之一。他的方法是这样的：如果xn＋yn＝zn有无穷多整数解（xm，ym，zm），我们按照zm由小到大的次序排列这个数组，那么就能找到一个常数a＞0和另一个常数b，使zm恒大于1010am＋b，这是一个天文数字！由于这个成就，1974年曼福得获得国际数学界最高荣誉——菲尔兹金牌奖，当时他年仅37岁。
2.1922年英国数学家莫德尔提出一个猜想：如果F（x，y）为有理系数多项式及代数曲线F（x，y）＝0的亏格≥2，那么F（x，y）＝0只有有限多个有理解。
3.1985年，用解析数论的方法，爱德列曼和海斯——布朗证明了存在无穷多个素数P，使得FLT的第一种情形成立。这无疑是FLT的研究中又一突破性工作。
1983年德国29岁的数学家伐尔廷斯证明莫德尔的猜想是正确的。这个结果使一大批不定方程的求解问题得到解决，对于FLT也是一个重大突破。从这个结果，可以推出费马曲线xn＋yn＝1（n≥4）上只有有限个有理点，也就是说，如果方程xn＋yn＝zn（n≥4）有解，则至多有有限多个。
伐尔廷斯的巨大成就轰动了数学界。各国数学家普遍感到兴奋与惊奇，并给予高度的评价。一些数学家认为，这个进展不是每年都能碰得上的结果，是一件罕见的大事。至少就数论这个分支而言，可能已经解决了20世纪中最重要的问题。可以预言，伐尔廷斯将是第20届国际数学家大会颁发的菲尔兹奖的获得者。
值得指出的是，伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇等所创造的一套深刻的代数几何工具。因此，我国著名解析数论学家王元指出，解析数论专家不懂代数的时代从此结束了。从这方面来说，伐尔廷斯的工作使数论各方面的专家懂得了相互了解的重要性，这对于今后的数论研究工作将起到积极作用。
