浑仪
浑仪是我国古代天文学家用来测量天体坐标和两天体间角距离的主要仪器，由于它的重要性，历代均有研制。保存至今的明制浑仪和清制浑仪结构合理、铸造精良、装饰华丽，成为古代天文仪器的精品，甚至成为我国古代科技文明的象征。
现在，谈到浑仪的最早制造一般都引用这样两条资料：
“或问浑天。曰：落下闳营之，鲜于妄人度之，耿中丞象之。”（杨雄：《法言·重黎》）
“落下闳为汉武帝于地中转浑天，定时节，作太初历。”（《隋书·天文志》）
落下闳是汉武帝时人，他营造了一个浑仪，另一位天文学家鲜于妄人用它来测量，而宣帝时的大司农中丞耿寿昌则做了一个浑象来模拟天球的运动。这里，西汉末年的杨雄并没有说浑仪是落下闳发明的，只是说他制造了一个浑仪。那么，在落下闳之前还有什么线索呢？以下几点值得考虑：
首先，战国时代的石申约是公元前4世纪人，他曾著《天文》八卷，其中有100多颗恒星的地道坐标，以入宿度表经度，去极度表纬度，单位为度，度以下用少、半、太、强、弱等字表示。这说明石申的时代应该有测量角度的仪器，并且能测出比1度还小的角度。
其次，分周天为36514度的制度应同四分历的创制有关，而先秦四分历的形成年代很可能在公元前四五世纪的战国时代。
第三，1973年长沙马王堆出土了《五星占》一部，其中记有公元前246年至前177年间木、土、金三星的行度，度以下的单位为分，而1度为240分。
第四，1977年在安徽阜阳从西汉初年的古墓中出土一套二十八宿圆盘，除有二十八宿距度外，还有古度，跟《开元占经》所记《石氏星经》中的古度数相符合，这说明“古度”系统确是存在的。
第五，三国时吴国天文学家王蕃曾说：“浑天遭周秦之乱，师徒断绝而丧其文，惟浑仪尚在灵台，是以不废，故其法可得言，至于纤微委曲阙而不传。”
以上这些资料和实物都表明；在秦汉之前已有测量角度的仪器，亦或已存在浑仪这样的测角仪器。在本章第一节中曾描述过出土的汉初二十八宿圆盘的用法设想，有可能最初的测角仪器是平面的盘，在某一平面内测角。《后汉书·律历志》中曾提到“圆仪”的仪器，可能也是一种平面测角工具，但天体定位需要两个坐标，必须将平面的测角工具在赤道面和子午面内分别使用二次，这样必然会想到立体的测角工具，而将平面的盘立起一转就形成一个圆球，所谓“立圆为浑”，或许浑仪的出现曾经历了从圆到浑的发展过程。
我国古代浑仪从诞生到变成历史文物，经历了从简单发展到复杂又回到简单的过程。战国至秦或许是它的诞生时期，汉唐时期是研制、创新、定型阶段，宋元时期是它的高峰，明代以后创新和铸造的热情明显下降。
浑仪的构造包括三个基本部件，首先是窥管，通过这根中空管子的上下两孔观测所要测的天体；其次是反映各种坐标系统的读数环，当窥管指向某待测天体时，它在各读数环中的位置就是该天体的坐标；此外就是各种支承结构和转动部件，保证仪器的稳固和使窥管能自由旋转以指向天空任何方位。
最初的浑仪结构比较简单，只有一根窥管和赤道系统的读数环并兼做支架的作用，在《隋书·天文志》中最早留下了南北朝时孔挺于公元323年制的浑仪结构，即如上述，它就是“古之浑仪之法者也”。公元412年，北魏斛兰制铁浑仪，增加带水槽的十字底座，底座上立四根柱子支承仪器。这样，读数系统与支承系统就分开了。到唐代，由于李淳风和一行、梁令瓒等人的努力，浑仪的三重环圈系统建立起来，成为后世浑仪结构的定型式。
浑仪的三重环圈各有名称，最里面的是四游环或四游仪，它夹着窥管可使之自由旋转；中间一重是三辰仪，包括赤道环、黄道环、白道环，上面都有刻度，是各坐标系统的读数装置；外面一重是六合仪，包括地平、子午、赤道三环，固定不动，起仪器支架作用。考察历代所制浑仪，都可以按这三重环圈体系来分析它们的结构。英国李约瑟博士在《中国科学技术史》一书中列出了一张表格，分析了十几架浑仪的结构，可资参阅，但其中有一些可能对古代资料的理解有误，将浑象误为浑仪。
由于天体的周日运动是沿赤道平面的，所以只有赤道系统能最方便地表示天体的坐标，黄道和白道就显得很麻烦，而且，由于岁差的原因，赤道和黄道的交点不断变化，使黄赤道的位置不固定。一行和梁令瓒所铸黄道游仪就是为了解决这个问题而设计的，他们在赤道环上每隔1度打一孔，使黄道环能模仿古人理解的岁差现象不断在赤道上退行。类似的情况是白道和黄道，李淳风就在他制造的浑天黄道仪的黄道环上打249个孔，每过一个交点月就让白道在黄道上退行一孔。这样的设计虽说巧妙，但使用上却带来不便，精度上也受影响，后来遂被废除。
宋代的浑仪铸造主要在北宋，大型的就有五架，每架用铜总在1万公斤以上，可见其规模之大。而且宋代浑仪也注意精度方面的改良，如窥管孔径的缩小，降低人目移动造成的误差；调正仪器安装的水平和极轴的准确，降低系统误差；又发明转仪钟装置和活动屋顶，成为中国天文仪器史上两大重要发明。
浑仪到了宋代已是环圈层层环抱的重器，它在天文测量和编历工作中起了很大的作用，但也渐渐显示了多重环圈的弊病：安装和调正不易，遮蔽天空渐多，使许多天区成为死区不能观测。因此，宋代之后已在酝酿浑仪的重大改革，这就是元代简仪的创制。
要追踪历代浑仪的下落是件不容易的事。木制的当然不易保存下来，即使是铜铁铸的也因年久湮灭和战乱毁坏而不存。汉代浑仪现在已无法研究，只知张衡（78～139）以后著名学者蔡邕（132～192）还见其在候台，流放朔方后他仍思念要寝伏仪下，探索天文学问题。前赵南阳孔挺于公元323年所铸浑仪，后经魏晋丧乱，沉没西戍，义熙十四年（418）宋高祖（刘裕）定咸阳得之，至梁时置于重云殿前。北魏斛兰412年所铸铁浑仪使用了200年，至唐时仍置于太史候台之上，但已经锈蚀，转动不灵，误差太大，不能使用，于是李淳风另铸新仪。
唐初李淳风于贞观七年（633）铸成浑天黄道仪，唐太宗令置于凝晖阁，以用测候，“既在宫中，寻而失其所在”，而该仪的“用法颇难，术遂寝废”，这架仪器在皇宫内下落不明。后一行、梁令瓒又铸黄道游仪，开元十三年（725）成，玄宗亲为制铭，置之于灵台以考星度。此仪下落也未交代。但一行和梁令瓒同时铸造的浑象被置于武成殿前，无几而铜铁渐涩，不能自转，遂藏于集贤院，不复使用。从这里可知，当时冶铸的仪器比较容易锈蚀。
宋代浑仪的遭遇要复杂些，北宋为金所灭，开封的五大浑仪全被虏至金都，运输过程中损坏的部件均被丢弃，浑仪被置于金太史局的候台上，但因开封和北京纬度差达4度，观测时需作修正。金章宗明昌六年（1195）八月，雷雨狂风使候台裂毁，浑仪滚落台下，后经修理复置于台上。公元1214年，北方蒙古族南下攻北京，金宣示南渡开封，仓皇出逃，宋代浑仪搬运困难，只好放弃而去，宋代仪器再次受到毁坏。至元代初年吴师道在城外记游诗中还曾提到宋皇佑浑仪废弃在金代司天台上。（元吴师道九月二十三日城外记游诗云：“清台突兀出天半，金光耀日如新磨，玑衡遣制此其的，众环侍值森交柯，细书深刻皇佑字，观者叹息争摩挲，司天贵重幸不毁，回首荆棘悲铜驼”）《元史·郭守敬传》中也提到：“今司天浑仪，宋皇佑中汴京所造。”可见，到元代初年，宋代浑仪只有皇佑年间（1051）周琮等人所造的一架还有线索，其他的都已不明。
北宋亡后，高宗南渡，偏安江南，在杭州曾铸造过二三台小型浑仪，置于太史局、钟鼓院和宫中，但下落均不明（《宋史·天文志·律历志》）。
明建都南京后，洪武十八年（1385）将北京的宋、元浑仪运至南京鸡鸣山设观象台，二十四年（1391）铸浑仪。明成祖迁都北京后仪器并未运回北京，而是派人去南京做成木模到北京来铸造，1437年铸成，置于明观象台上（即现在的北京古观象台）。清康熙七年（1668），钦天监请将南京的郭守敬所造仪器运回北京（《清朝文献通考·象纬考》）。康熙五十二、三年间梅成在观象台下见到许多前代旧仪，言“元制简仪、仰仪诸器，俱有王恂郭守敬监造姓名”。康熙五十四年（1715）欧洲传教士纪理安提出铸造地平经纬仪，将台下元明旧仪，除明制简仪、浑仪、天体仪外，尽皆熔化充作废铜使用，遂使元明旧仪不复留存，实在令人惋惜和气愤。这里有几点应该指出：清初从南京将元明旧器运回北京时有否全部运回？尤其是宋皇佑浑仪，清代文献均未提及，是否仍遗于南京？又元代郭守敬所铸仪器甚多，明洪武二十四年也曾在南京铸浑仪；梅成的话太笼统。所以关于宋、元、明旧仪的下落还有待进一步研究和发现。
目前陈列在北京古观象台上的仪器为清代铸造，而在南京紫金山天文台上的浑仪、简仪则是明仿制的宋元旧仪。
简仪
简仪，1279年元初郭守敬创制，现存紫金山天文台之简仪为明正统年间（1437）复制品，而郭氏原器毁于清康熙五十四年（1715）。简仪是重要的观测用仪器，由浑仪发展而来。因其简化了浑仪的环圈重叠体系，又将赤道坐标与地平坐标分开，不遮掩天空，观测简便，故后人以此作为简仪名称之由来。
英国人李约瑟博士提出了另一种说法，他认为简仪的来历要溯源于一位西班牙穆斯林天文学家贾博·伊本·阿弗拉，他于1170年制成了一架黄赤道转换仪，能方便地将一种球面坐标变换成另一种。1267年扎马鲁丁可能将这一知识带到中国，郭守敬建造简仪时采用了这一知识而简化了其中的黄道坐标部件，因而郭守敬成了赤道式装置的创始人。这一说法并未得到人们的赞同，实在是因为赤道式装置在中国古已有之，历代之浑仪浑象均已采用，且浑仪发展到宋代，环圈重叠的弊病已趋明显，宋代铸仪时已考虑简化的问题。至于扎马鲁丁携来的西域仪象，文献中未提到黄赤道转换仪。因此，上述说法自然难于接受。
要说简仪曾受到阿拉伯仪器的影响和启发，或许还是有的。比较明显的是简仪上百刻环的刻度，除分为100刻之外，每刻又分成36分，这就相当于将周天3600分，这是在郭守敬之前的中国仪器上没有过的。而周天360度分划在唐代和元代都曾传入中国，特别是扎马鲁丁的仪器用360度制，这可能是郭守敬在创制简仪时受其启发的一个例子。此外在简仪上没有用历来沿用的窥管，而是改用窥衡，将中空的管子改成一根尺，两头立起一小铜片，上面开小孔，小孔中置一细线，用上下孔中两条细线与天体重合定准天体的位置，这里既有阿拉伯仪器上照准器的影响，也有郭守敬的创新。
简仪，就其结构来说是一个含有四架简单仪器的复合仪器，或许称复仪更为合适。它的主要部分是一架赤道经纬仪，可算是传统浑仪的简化，它只有四游环、赤道环和百刻环，而后两环重叠在一起置于四游环的南端，使四游环上方无任何规环遮掩，一览无余。在赤道和百刻两环之间安装有四个铜圆柱，起滚动轴承的作用（明复制品中没有），这一发明也早于西方200年之久。另一部分是地平经纬仪，又称立运仪，就是直立着运转的仪器。这也是新创造的，可以测量天体的地平经纬度。它只有二个环，一个地平环，水平放置，在地平环中心垂直立一个立运环，窥衡附于其上，起四游环的作用。其他二部分是候极仪和正方案，候极仪装于赤道经纬仪的北部支架上，以观北极星校准仪器的极轴，使安装准确。正方案置于南部底座上，它既可以携带走单独使用，在这里也可以校准仪器安装的方位准确性（现存简仪上正方案的位置在明末清初换上了平面日晷）。在《元史·天文志》里列举郭守敬创制的仪器名称，首先就是简仪，而立运仪、候极仪、正方案的名称又另外列出，可见郭守敬所指的简仪就是单指其中的赤道经纬仪，但当时既无这一名称，它又同传统的浑仪形状不同，考其作用正如浑仪，结构比浑仪简化。故郭守敬称其简仪也是合理的。
仰仪
仰仪是郭守敬创制的另一架重要仪器，形如一口大锅仰面朝天，锅内刻赤道坐标网，在半圆球的球心处设法置一铜片，中开小孔，利用小孔成像的原理将太阳像成在大锅的内壁上，从刻成的经纬网中立即可以看出太阳的坐标。这一仪器免除了仰面观测的不方便，又避免了人眼直接观日的光芒刺激。它既可以测知太阳的坐标，又可判断时间，日食时还可以方便地观测亏起方位和食分，是一架用途广泛、使用方便、铸造容易的仪器。这一发明不久便传到朝鲜和日本，至今朝鲜还保存有17世纪时制造的仰釜日晷。
在天文仪器的制造中，利用小孔成像的原理，这在中国是绝无仅有的，就是在世界古代天文仪器中也未见过，郭守敬是首创者。同时，在郭守敬创造的仪器中还有一件景符，是配合高表观日影用的，利用的也是小孔成像原理，这表明郭守敬的这一创造并非偶然。在我国古籍中，关于小孔成像的描述最早见于战国时代的《墨经》，南宋以后该书流行甚广，郭守敬研究其中的知识作出创造是完全可能的。
仰仪由于明清两代的南北迁移和人为毁坏，今已不存。但是根据仰仪的形式和原理制作的小型日晷在民间肯定流传甚广。北京市文物管理所在“十年动乱”中曾从垃圾堆里拣到一块象牙制的仰釜日晷残品，在朝鲜也保存有100多年前制作的类似日晷，其北极出地高度为37度多，这一纬度跟郭守敬的故乡河北省邢台非常接近。北京天文馆已复制出一架仰仪，放置在北京建国门立交桥南的古观象台上，使后人得以重睹它的光彩，也使先人之伟大发明不致湮灭无存。
浑象
浑象是另一类古代天文仪器，主要用于象征天球的运转，表演天象的变化。有时也称浑天象或浑天仪，甚至称为浑仪，同用于观测的浑仪互相混淆。
浑象提起浑象或浑天仪，人们马上会想到张衡创制浑天仪，这实在有些误会。东汉科学家张衡确实制造过一架浑象，称“漏水转浑天仪”，但浑象的发明在张衡之前。在前面讲浑仪时曾提到西汉宣帝时大司农中丞耿寿昌就曾制造过浑象，所以在张衡之前浑象已经出现了。至于耿寿昌之前的情况，现在还没有资料，因此浑象的发明还是个谜。
那么张衡对浑象有没有贡献呢？有的。张衡发明了水运浑象，即以水力转动浑象，使之能自动旋转，同天象的运转协调一致，能比较准确地表演天象的变化。因此，只要将张衡的水运浑象放在屋子里就可以知道外面的天象，在大白天也可以知道什么星到了南中天。这一贡献开创了后代制造自动旋转仪器的先声，导致了机械计时器即钟表的发明，对世界文明的发展影响深远。
浑象的基本形状是一个大圆球，象征天球，大圆球上布满星辰，画有南北极、黄赤道、恒显圈、恒隐圈、二十八宿、银河等等，另有转动轴以供旋转。还有象征地平的圈（在圆球之外）或框，亦或有象征地体的块（在圆球之内）。由于大圆球的转动带动星辰也转，在地平以上的部分就是可见到的天象了。
在耿寿昌和张衡之后，各种尺寸的浑象几乎各代都有制造，但有的是不能自动旋转的，有的则仿照张衡的做法，用漏水的动力使浑象随天球同步旋转，而这后一类自动浑象在唐和北宋时代得到了长足的发展，其中重要的是一行、梁令瓒和张思训、苏颂、韩公廉等人的创造性工作。一行和梁令瓒在唐开元十一年（723）制成了开元水运浑天俯视图，或开元水运浑天，首次将自动旋转的浑象同计时系统综合于一体，设两木人按辰和刻打钟击鼓。沿着这一想法，北宋天文学家张思训于公元979年做了一台大型的“太平浑仪”，名曰浑仪，实际上是一个自动运转的浑象，做成楼阁状，有12个木人手持时辰牌到时出来报时，同时有铃、钟、鼓三种音响，该仪以水银为动力，因其流动比水稳定，启动力量也大。后来，苏颂、韩公廉又建成了约12米高的水运仪象台，将浑仪、浑象、计时系统综合于一身，达到了自动浑象制造的顶峰。
1958年，王振铎先生根据苏颂的著作《新仪象法要》考证了水运仪象台的结构，复制成功了这台仪器的缩小模型，陈列于中国历史博物馆。差不多同时，英国李约瑟等人也做了类似的工作，伦敦邮政总局的孔布里奇先生也按其研究和理解复制了一件。通过他们的研究，一致认为其中控制运转的关键部件卡子乃是后世机械钟表中擒纵器的雏形。在西方机械钟表问世前的6个世纪，一行等人已做出了这一发明。李约瑟说，这一发明使我们看到了从漏水计时到现代化机械钟表发展过程中的关键一环。
浑象的研制到了元代有新的发展，郭守敬以他的创造性才能确使浑象出现了新的面貌和用途。在郭守敬为编制授时历和建设元大都天文台而创制的仪器中有浑象一架，半隐柜中，半出柜上，其制作类似前代。另还有一件前所未有的玲珑仪，关于此仪，所留资料不多，致使研究者产生两种不同的看法，一种认为是假天仪式的浑象，另一种则认为是浑仪，持不同意见的双方主要都是依据郭守敬的下属杨桓所写的《玲珑仪铭》。现将该铭文中有关仪器形状和性质的话录于下：
“……制诸法象，各有攸施。萃于用者，玲珑其仪。十万余目，经纬均布。与天同体，协规应矩。遍体虚明，中外宣露。玄象森罗，莫计其数。宿离有次，去极有度。人由中窥，目即而喻。先哲实繁，兹制犹未。逮我皇元，其作始备……”（《天文类》卷十七）
如果用现代语言把这一段译出来便是；
“……天文学家制成仪象，各有各的用途，而集多种用途于一身的只有玲珑仪，该仪表面沿经纬线均匀分布有10万多孔，按规律准确地与天球相符。整个仪体虚空透亮里外可见。虽然星宿密布于天，不计其数，但它们都有入宿度和去极度，只要利用该仪从里面窥看，即刻可以明白。古代贤者很多，但这种仪器尚未发明，直至元代，才首次做出来……”
根据这一段描述可以清楚地感觉到，玲珑仪就是具有浑象之外形又有浑仪之用途的新式仪器。按郭守敬的助手齐履谦所作《知太史院事郭公行状》，他创制玲珑仪的原因是“象虽形似，莫适所用，作玲珑仪”（浑象虽然形状如天球，但不适于运用，所以作玲珑仪）。上文已提过郭守敬曾制作了一个从外面观看的浑象，如果玲珑仪是一个从里面观看的浑象（假天仪），则本质没有什么不同，仍旧是“莫适所用”。至于说玲珑仪是浑仪，是明代复制浑仪的原型，这一看法，更是站不住脚。郭守敬已经对环圈相套的浑仪做了重大改革，创制了简仪，不可能再去做一个环圈相套的旧式浑仪，而且玲珑仪铭的描述中有许多话是同环圈相套的浑仪不相容的。浑仪和浑象以及假天仪，在元代之前均有制作，不能认为“兹制犹未”，因此，说玲珑仪是假天仪或浑仪对上述引文中最后四句均无法解释，结论只能是：玲珑仪既不是假天仪，也不是浑仪，它就是玲珑仪。
日本山田庆儿教授曾猜想玲珑仪是以半透明材料制作天球的浑象，其前一半是可取的。在这种半透明材料上按经纬线钻小孔，当人从里面看时，就感到整个天球布上了经纬网，天上的星都在这经纬网中有其位置，其坐标一看即明。白天可用来看太阳，晚上可用来观星，得到它们的入宿度和去极度，这就类似浑仪的用途，故应安置于台顶。但当把三垣二十八宿及全天星象也标在球壳上以后，又可以表演天象变化，类似浑象的用途。所以称它玲珑仪，也是符合实情的。
元明以前的历代浑象均未能保存下来，现在北京古观象台和南京紫金山天文台的浑象是清代制造的。
晷仪
晷仪，一般称秦汉日晷。目前共发现三个，一藏中国历史博物馆，一藏加拿大安大略皇家博物馆，另一个仅存一小角残石。它们的形状为一方形石板，中央有较深的圆孔，以圆孔为中心画有一大圆圈，在圆周上刻有69个浅孔，浅孔都标上1～69的数码，并有直线与中央圆孔相连。按69孔所占圆周2/3略多来估算，整个圆周是等分成100份的，每一浅孔占1/100.从所用字体来看，当为秦汉遗物。
秦汉日晷对这些孔和线，研究者普遍的看法是，中央圆孔插一定表，周围浅孔插置游表，都是用来观测太阳影子的标杆。除了这些没有分歧的意见，对于这一仪器的用途却有三种不同的看法，至今并无公认的结论。
一种看法认为这是观日影定时刻的仪器，联系到我国很早就将一天分成100刻，这一仪面上也是均匀分成100分，其夜间部分（31刻）无需刻画，故只需刻69孔。如将仪面倾斜放置，与当地赤道面平行，则日影在晷面上的移动就是均匀的，因此这就是一个赤道式日晷。
第二种看法认为仪面是平放的，不能用来测时，可以用来校准漏壶。持这种看法的人认为中国赤道式日晷发明在南宋初年，而秦汉出土的这些仪器底座也不宜斜置。
第三种看法认为这是用来定方向的仪器，平放在地面上，只要中心定表的影子端点一天二次（上、下午）落到圆周上的二个浅孔上，利用这两个浅孔的连线可知东西方向。在《周髀算经》和《淮南子》中均有这种方法的介绍，《汉书·律历志》中也有“议造汉历，迺定东西，立晷仪，下漏刻，以追二十八宿于四方……”的话，故认为这是同定方向有关的“晷仪”。
笔者比较倾向于第一种看法。这是因为，均匀的浅孔与平放的仪面是不相容的，太阳的周日运动平行于赤道面，只有将仪面平行于赤道面放置才能使日影均匀地在仪面上移动。明确的赤道式日晷记载虽出现在南宋，但这不能作为秦汉时没有赤道式日晷的理由。事实上，早在战国时代已出现了天体赤经差的测量，编成了石氏星表，说明赤道式仪器早已出现。再说，圆周上的100分划正好跟百刻时制相合，定向用的仪器跟均匀分100份没有必然的联系，其他分划也可以完成定方向的任务。至于《汉书·律历志》的话，则更有利于这是定时刻的仪器，为了议造汉历，必先确定东西方向，方向确定后才好安放“晷仪”即日晷，将晷面上未刻部分朝南，以定正午，有了日晷就可以校准漏壶，使正确计时，其后就可以观测，追二十八宿于四方了。
复矩
复矩，又称复矩图，唐代天文学家一行、南宫说等人为编制大衍历而创制的仪器，可以用来测各地的北极高度，即地理纬度。据史料记载推测，认为这是把一根直角曲尺翻转过来，在直角顶点悬一重锤，在两根垂直的尺之间设置圆弧，上面标有刻度。只要沿一根尺边观测北极星，重锤线在圆弧上就可以显示出北极高度的读数。利用这一仪器，南宫说等人测量了河南省境内登封、阳城、滑县、开封、上蔡四地的北极高度，又测量了四地之间的距离，发现351里80步（约151公里）北极高度差1度。
复矩猜想图上述关于复矩结构的推测仅仅根据新旧唐书天文志中的一句话：“以复矩斜视，北极出地三十四度四分”。到底有否重锤线和带刻度的圆弧，没有文献记载。但在有关的叙述中，又提到“勾股图”、“大衍图”、“复矩图”等名称，并多次出现“以图测之”，“按图斜视”，“以图校之”等语。因此，“复矩”和“复矩图”是否为一物遂引起人们的怀疑。如《旧唐书·天文志》载：“……朗州测影，夏至长七寸七分，冬至长一丈五寸三分，春秋分四尺三寸七分半。以图测之，定气长四尺四寸七分，按图斜视，北极出地二十九度半。”这里春秋分之影长有二个数据，一个是实测的，一个是以图测的。大家知道，根据简单的球面天文知识，可以从冬夏至日影长求得春秋分的日影长，据此可以求得春秋分日太阳的天顶距，而这个数据就是当地的北极出地度（地理纬度）。将新旧唐书中的各地测影数据进行计算，发现其计算所得的春秋分影长与“以图测之”的数据相符，而跟实测值颇有差距。这是否说明“复矩图”乃是一种图解法或一种根据冬夏至的影长求出观测地的北极出地度的数学方法？
这一数学方法可能是这样的：先根据一行创立的太阳天顶距和影长对应表算得各度之影长，再计算北极出地为17度的地方夏至及各气太阳天顶距和相应影长（只要算夏至到秋分之间即可够用）列成一表，这就是北极出地17度地方的复矩图，然后依次算出北极出地18度、19度……直至40度各地的表，共得24个表。到达某地时，只要知道测影日的节气和测得中午影长即可在上述24个表上去查对，找到相应的二张表，其所测影长正在二表所列数据之间，用内插法即可知某地的北极出地度。《旧唐书·天文志》曰：“沙门一行因修大衍图，更为复矩图，自丹穴以暨幽都之地，凡为图二十四……”可见24图之意即为每度一表也。
牵星板
牵星板，这是一种实用的测角仪器，同复矩和正方案类似，都具有便于携带和使用简单的特点，但牵星板多用于海上航行，以测量天体的水平高度或两天体间的纬向角距离。在明代李翊写的《戒庵老人漫笔》中描述了牵星板的形状：“苏州马怀德牵星板一副，十二片，乌木为之，自小渐大，大者长七寸余。标为一指、二指以至十二指，俱有细刻，若分寸然。又有象牙一块，长二寸，四角皆缺，上有半指、半角、一角、三角等字，颠倒相向，盖周髀算尺。”根据这一记载，可以知道一副牵星板有大小十二块乌木方板，另有一块象牙板，四角缺去，表示指以下的单位：一指等于四角。
使用时，手持牵星板伸向前方，使板下沿与海平面相合，板面垂直于海面，板中心穿一根固定长度的线，一头贴在下嘴唇或眼窝下，沿板上沿观看要测之恒星，换取适当大小的牵星板，使要测之星正好贴着牵星板上沿，则板上标明的指数就是这个星的水平高度。这种简便易行的方法在海上航行中广为应用，以确定海船在大海中的南北位置。明代茅元仪编纂的《武备志》中载有《郑和航海图》24页，其中有4幅《过洋牵星图》，上有许多实测纪录，如“织女星七指平水”，“水平星五指一角平水”等。此外，在《顺风相送》、《指南正法》等书中也有不少牵星记录，说明牵星术在航海中的重要作用。1974年在泉州湾发掘的宋代海船中出土了大批珍贵文物，其中也有多块缺角的木板，形状与上图中的象牙板相似，从严重磨损的情况来看，它们很可能是用久了的牵星板，后来改做物品签了。
牵星板示意图在泉州湾出土的南宋古船中还有一件颇为奇怪的尺，长20.7厘米，宽2.3厘米，从一头开始刻有5个分划，每划间距约2.6厘米，其余7厘米多没有刻划。这种一头有刻度另一头没有刻度的尺很可能也是一种牵星工具，不妨叫做“牵星尺”，它是牵星板的发展还是牵星板的前身，现在还很难说。因为用牵星板来牵星，其使用单位为“指”和“角”，“角”的来历显然是同牵星板的缺角有关，而“指”则为手指头。当初人们想测量两天体之间的角距离，很可能是手臂平伸，竖起手指头来量，看两天体之间能容下几指，于是就用“指”来表示这种角距离，在马王堆出土的帛书《五星占》中就用了“指”这样的单位来表示金星与月亮的角距离，在《乙巳占》和《开元占经》中也引用了战国时期的不少星占书，其中也有“指”的记载，可见“指”这一单位当起源于公元前三四百年。同时我们也发现，古代除了用“指”之外，也用“尺”、“寸”来表示角距离，南宋古船出土的“牵星尺”为我们提供了一件实物，它的刻度2.6厘米约相当于宋尺的一寸，当手持无刻度的部分，手臂向前伸直，尺顶与某星相接时，看海平面在尺上的位置就可知道某星出水几寸了，这无疑也是一种简便的牵星方法和牵星工具。
古历的沿革
早在原始社会时期我国就有历法的萌芽。日出而作、日入而息的习惯，以物候和气候变迁来指导农耕和采撷活动，这些都是原始历法的萌芽。《尚书·尧典》中有“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”的话，这句话至少传达了三种信息，即一岁分四季（四时），366天，并有闰月的安置。
殷商时期的甲骨卜辞，提供了《殷历》的重要线索，主要包括以六十干支来记日，以月亮的圆缺周期记月，大月30天，小月29天，一年12个月，有时13个月，是为闰月，有“南日至”即冬至的认识。这表明《殷历》已具备了阴阳合历的特点，这一特点作为一种传统为后世历法沿用了数千年之久。
进入西周，历法又有了进步，在铸造于青铜器上的铭文中发现有大量月相的记载：初吉、既望、生霸、死霸等。这些名词是表示一月中的某一天（定点说），还是表示某一时段（四分说），历来争论不休。争论的双方都不能圆满地解释现在的金文资料，也不能有力地证明对方站不住脚。因此，这一问题仍有待进一步发现新资料。虽然如此，它仍说明西周时期对月亮圆缺规律的研究已有进展。公元前七八世纪创作的《诗经·十月》篇，第一次出现了“朔”的记录，表明已将月的开头从“朏”（新月初见），改成了朔（日月相合），因为朔是看不见的时刻，需以别的方法推算，其难度当比朏大得多。
春秋末期，出现了《四分历》和19年7闰的闰周，使我国古历出现了新的进展。《四分历》是以36514天为一年之长，并发现235个朔望月同19年差不多一样长，故19年中安插7个闰月，这样，一个朔望月的长度就是29499940天，比笼统地以29.5天为一月进步多了。在诸侯割据、列国分争的形势下，各国行用不同的历法，计有夏、殷、周、鲁、黄帝、颛顼六种，称古六历。它们都是《四分历》，只是年的开头在十一月、十二月或是一月而不同，历法的起算点历元不同。以一月为岁首称建寅，晋国地区曾使用；以十二月为岁首称建丑，鲁国文公、宣公以前曾用过；以十一月为岁首称建子，宣公以后行用过；后来还出现过以十月为岁首的，是为建亥，秦和汉初使用过。至于历元的不同，《后汉书·律历志》介绍说：“黄帝造历，元起辛卯。颛顼用乙卯。夏用丙寅。殷用甲寅。周用丁巳。鲁用庚子。”
秦及汉初以前的历法均未能保存下来，所以它们的详情不得而知，虽有一些文献和考古发掘提供了零星的资料，但要复原某一种历法还是不可能的，如同生霸、死霸的问题争论一样，对先秦古历的几种看法尚不能说谁是谁非，在资料不足的情况下做出任何结论将是不科学的。
西汉武帝时征召天下善历者改造新历，编成《太初历》，成为传世的第一部完整历法，其后改历多次，造历近百种。
现将部分中国古历列表如下：
古历的分期
对于这如此众多的历法和漫长的历法发展史，过去也曾有分期的研究，并提出可分三期，即《古六历》之前为历法萌芽期，《古六历》至明《大统历》为历法改革期，明末以后为中西合历期。这一分期当然不无道理。但是，对最富有中国特色的近百种古历，即从《古六历》到明《大统历》未能再作进一层次的分析，实在失于笼统。钱宝琮先生曾对这一时期的历法沿革做了详尽的叙述（“从春秋到明末的历法沿革”，《历史研究》，1960年3期），对各历的成就和进步做了精辟的分析，成为该领域的代表之作。如果从各历的天文内涵和计算原理方面来分析，还可以进一步研究它们的分期。
第一期东汉乾象历之前，可称为固定周期均匀运动期。这里有《古六历》、《太初历》、《后汉四分历》等，这些历法都基于日、月、行星以固定周期匀速运动为前提，一旦确定了各种周期和起算点（历元），所有年的日历可简单地用周期循环叠加而推出。
第二期从《乾象历》至隋《皇极历》，包括魏、晋、南北朝的许多历法，不断认识到日、月、行星的运动是不均匀的，并陆续应用到历法推算中，是从均匀运动向非均匀运动的过渡时期。
第三期从隋《皇极历》至元《授时历》，为固定周期非均匀运动期，包括隋唐历法、众多的宋历及辽金历法。这是中国历法史上最重要的一个时期，为了计算各天体在固定周期内的非均匀运动，发展了二次和三次内插法等数学方法。它们以第一期的均匀运动为基础，再考虑各种非均匀运动的改正，用逐步逼近的方法力求符合天象，构成了中国历法计算的主体。
第四期为元《授时历》，可称做半固定周期非均匀运动期。这一期的酝酿可从南宋杨忠辅统天历开始，杨忠辅首次提出了回归年长度变化为古大今小的认识，《授时历》在此基础上创岁实消长法，每百年往前增万分之一日，往后减万分之一日。按现代天文学理论，回归年、朔望月、交点月等周期都不是固定不变的，且相邻两个周期也不相等，所以从固定周期走向半固定周期在认识上是重要的发展。
从这一分期可以看出，要研究中国古历，解读中国古历的计算原理和方法，第三期是关键所在，弄清了第三期历法的计算，可以上推远古，下通未来。以研究中国历法而著称于世的日本薮内清教授正是从隋唐历法入手，写下了《隋唐历法史之研究》这一奠基性著作，看来是不无道理的。
日躔
躔，本表示日、月、行星在运动中经过某一天区；离，则表示离开某一天区，《太衍历》、《历本议》曰：“日行曰躔”、“月行曰离”，而通常日躔、月离或躔离，泛指日月之运动。
由于日月运动不均匀，按均匀运动（或平均运动）算得的日月合朔（日月黄经相同）时刻并不是日月真正合朔的时刻。
日月的合朔太阳在黄道上运行，月亮在白道上运行，按平均运动计算，它们到达S和M时为合朔（平朔），但此时真正的太阳已到达S′，月亮到达M′，显然并不合朔，要等月亮走到M″，此时太阳也到达S″时才是真正的合朔（定朔）。由图可见定朔和平朔之间有一个时间差ΔT：
ΔT=S′S″日速=M′M″月速
∵M′M″=M′M SS′ S′S″
而M′M″=ΔT×月速，S′S″=ΔT×日速
∴ΔT=M′M SS′月速-日速=M′M月速-日速 SS″月速-日速
这里月速与日速之差可以用它们的平均速度差代替，误差不大，而SS′和M′M是平朔时刻真太阳和真月亮比平均值快或慢的量。
在第三期的历法中都给出了日躔表和月离表，就是给出不同时刻的SS′和M′M的值，来解决上述公式的计算问题。现引唐·李淳风《麟德历》日躔表之一部分为例说明之。
