师：看来我们不得不为祖国悠久的文化历史感到骄傲自豪，古人尚且能熟练地运用等差数列求和解决实际问题，我们21世纪的人更应该把它发扬光大。
三、案例反思
笔者的这堂课取得了成功，获得了一等奖的好成绩。特别是这道例题给评委留下了深刻的印象，同时也给予了笔者深刻的启发。
数学概念、定理、公式、思想对于学生而言就像是天上掉下来的馅饼，数学似乎是数学家的事，数学离他们很遥远。在枯燥的逻辑证明、成堆的模仿练习中，学生失去了学习数学的兴趣，教师失去了培养学生创新能力的机会。数学教育也就变成了形式化的程序，呆板无趣。
知识应用是一堂课的核心与高潮所在，如何设计好例题信息，设计好例题讲解方式，就显得尤为重要，而且往往能起到化呆板为活跃的效果。在本课当中，笔者正是在例题中溶入数学史的内容，大大激发了学生学习数学的兴趣，丰富活跃了教学，使学生了解到数学的价值及其与人类文明发展的不可分割的联系。并且在讲解例题的过程中，以学生的主动思维为主线，步步引导，而不是灌输填充，成功的扮演了“协助者”、“引导者”的角色，体现了“以学生为主体”，“学习从属于发展”的教育思想。
由于学校的学生生源较差，以前笔者的例题讲解也不细细斟酌，直接引用书上的形式比较老套的例题，但常常会索然无味，无法提高学生的学习兴趣，往往导致了灌入式的讲解，气氛沉闷。这次实践让笔者深深体会到“例题讲解”这一环节的重要性，一道好的例题可以反馈给学生很多信息（无论数学史方面还是前沿时事），还可以让学生体会成功的喜悦，体会到学习数学的重要性。
案例3一道数列题的多变
顾建伟
课堂教学是师生情感交往的场所，教师要给予学生参与的时间和权利。鼓励学生讨论、质疑、发表各种见解，形成师生间的能动交流。灵活多变是培养学生创造性思维能力的途径。灵活多变即思维敏捷、随机应变，对于疑难问题能提出较多的思维和见解。教师在教学中，应力求打破常规，引导学生从多方位去思考问题，注意培养学生一题多解、一题多思、一题多变、举一反三的创新思维及探究能力。下面我以高一数列中的一个题目为例，来探讨一题多变这一教学方式：
例：已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an+1，求证｛an｝是等比数列，并求出通项公式。
解析∵Sn=2an+1，∴Sn+1=2an+1+1。
∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an
∴an+1=2an，又∵S1=a1+1=-1≠0①
由①式可知，an≠0，所以an+1an=2，知是等比数列。
∴an=-2n-1
点评：证明一个数列是等比数列，常用方法是
(1)要证明一个数列｛an｝是等比数列，只要证明对于任意自然数n，an+1an等于同一个常数即可；
(2)对于一个数列，除了首项和末项（有穷数列）外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列即为等比数列。
变式1在等比数列｛an｝中，已知a3+a6=36，a4+a7=18，an=12，求n
解析本题变化点侧重于灵活运用等比数列的性质：an=am·qn-m。
设等比数列｛an｝的公比为q，因为a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q，所以q=1836=12，因为a4+a7=18，所以a4(1+q3)=18。所以a4=16，an=a4·qn-4=1612n-4，令16·12n-4=12，所以12n-4=132=125，n-4=5，n=9。
变式2在等比数列｛an｝中若an＞0，a2a4+2a3a5=25，求a3+a5。
解析本题变化点侧重于运用等比数列的性质：am·an=ap·aq(m、n、p、q∈N+且m+n=p+q)
因为a2·a4=23，a4·a6=a25，a2+2a3·a5+a4·a6=25，
所以a23+2a3·a5+a25=25，(a3+a5)2=25，因为an＞0，a3+a5＞0，a3+a5＞0，所以a3+a5=5。
变式3在等比数列｛an｝中，已知a1+a2=324，a3+a4=36，则a5+a6=。
解析本题的变化点侧重于一个等比数列是相邻两项和仍成等比数列，因为a1+a2，a3+a4，a5+a6成等比数列，所以(a3+a4)2=(a1+a2)·(a5+a6)。
即a5+a6=(a3+a4)2(a1+a2)=362324=4。
变式4四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差列，它们的和12，求此四个数。
解析本题的变化点侧重于综合考察等差数列和等比数列，还要注意设的技巧。
设此四个数(4-d)24，4-d，4，d，又由已知得(4-d)24+(4-d)+4=19，即d2-12d-28=0，d1=14，所以四个数为9、6、4、2或25、-10、4、18。
变式5本题的变化点侧重于将不是一个等比数列的问题转化为一个等比数列来解。
因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，设bn=an+1，则数列｛bn｝是公比为2的等比数列，因此bn=b1·qn-1，所以an+1=(a1+1)·qn-1，an=2n-1。
案例4三角中的一题多变
朱春萍
“一题多变”是培养学生思维灵活性和深刻性的重要手段。只探究一个个独立题目解法，往往会使思维受到限制。如果通过“一题多变”或者通过对不同题目的横向比较，则会使学生思维的灵活性得到提高，同时，也会使学生思维更具广阔性和发散性。下面是我在高一数学三角教学中的一节课：
例：sin165°的值为（）
A．6-24B．6+24
C．6-24Ｄ．-6+24
点评：本例是三角函数的和（差）公式的运用问题，要在熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基础上，对这些能灵活运用，
变式1已知α、β均为锐角，sinα=55，sinβ=31010，则α+β=（）
Ａ．π4Ｂ．π2
Ｃ．3π4Ｄ．5π4
变式2已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α-β)=1213，sin(α+β)=-35，则sin2α=()
A．5665Ｂ．-5665
C．1665D．-1665
变式3已知：sin(α+β)=23，sin(α-β)=34，求tanαtanβ的值。
变式4已知A为锐角，tanA与tanπ4-A是方程x2+px+q=0的根，又3tanA=2tanπ4-A，求p与q的值。
归纳：①掌握这些公式中函数名的特点，会根据需要对函数名进行转化，同名化异名或异名化同名；②注意角的关系的转化，利用角之间的和差关系，进行凑角、变角是解这类问题的关键，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)=(α-β)等等；③对公式中的常数要注意比较、分析，找出特征，加以运用，或发现规律，寻求解题思路。在高考中，三角函数公式主要用来进行化简、变形、转化。这些基本公式是考查的重点。
案例5一道分式不等式的多变
朱春萍
对课本中的一些例、习题进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，妙设陷井。利用这种变式训练，可以提高同学们的学习兴趣及学习效率，同时有利于培养思维的变通性、灵活性、和深刻性。如人教版的高中《数学》第一册（上）“解不等式3-xx+7＜0”可以进行如下变式：
变式1解不等式x-3x+7＜0
分析：本题的x系数出现负数。
变式2解不等式x-3x+7≤0
分析本题中“≤”，意思是“＜”或“=”，对于x-3x+7=0的情况，它应同时满足x-3=0且x+7≠0。
变式3解不等式x-3x+7＜1
分析：求解本题时，若要两边乘以x+7去分母，就必须分x+7＞0，x+7＜0两种情况讨论，通常采用移项把右边转化为0的方法求解。
变式4解不等式(x-3)2x+7＞0
分析：本题求解时，多数同学容易得出｛x｜x＞-7｝的错误答案，请同学们想一想，这是为什么？
变式5解不等式x2+2x-15(x+7)(x+5)＜0
分析：本题把分子分解因式后发现，只是在原题的分子、分母中增加了因式x+5，但千万不能约分，否则将得出｛x｜-7＜x＜3}的答案，事实上，x=-5就不满足原不等式。
变式6解不等式x-ax-b＜0
分析：本题将原题中的数字换成了字母，求解时就要注意讨论a与b的大小，尤其是a=b时，解集为空集的情形不容忽视。
变式7解不等式xa-3x+7≥0
分析：本题中出现了字母系数，必须对字母a按a＞0，a=0，a＜0进行分类求解。对于变式6和变式7千万不能把几种情况的解集并起来。
案例6“老师，为何要扣我的分？”
马敏华
那是高三月考结束后的一天，办公室内高声争论声引起了我的注意。学生小于正和邻班老师争得面红耳赤，细听后才知端倪。原来是为了月考卷上一道“不等式”题的扣分情况而争论。（试卷是流水批改的，学生有疑问可直接找该题阅卷老师理论）只见他俩都较为激动，抢着表达自己的观点，互不相让。
等风平浪静后，我又把小于叫进了办公室，询问原由。果然是为了那道不等式！文科较为突出的他，博览群书，辩论所向披靡，素有班上“辩论专家”的美称。但数学是弱项，心有余而力不足，底子不行呗，难怪败下阵来。可他那双眼睛却掩饰不住内心的期盼，终于忍不住有问了一句：“老师，为何要扣我的分？你看都扣完了，可至少答案是对的！”
看了他的答卷，正想帮他细细分析，却被“叮咚叮咚……”的上课铃声打断了。“那我们就到课堂上去解决吧！”说着我与他一起走进教室。
试卷讲评课上，我用黄色粉笔醒目地板书题目“|x-1|+|x-2|<3”
教师：“这道题多数学生解对了，现在我想请大家谈谈各自的解法。”
台下学生议论开了：
——咦，这么简单的题还要问呀！
——不都会解了吗？浪费时间！
紧接着一片寂静，无人响应。
（我一愣，分析此题居然遭到不少学生非议）急忙补充说明：“此题解法较多，我们一起再来探讨一下，希望能各抒己见，取长补短！”
学生A（性格外向，成绩中上水平）主动打破僵局：“我采用分类讨论法，打开绝对值，分三种情况。”
教师（含笑点头）：“请上来书写过程。”
学生B也不甘示弱：“我用数形结合的方法更快，但为何扣我3分？”
教师：“好，请上台来，大家一起帮你分析原因。”
课堂气氛顿时活跃了许多。
学生C（性格内向，基础较差）也抢着发表自己的观点：“我的解法虽和他俩都不同，但也得了满分。”
教师：“好极了，上来板演给大家瞧瞧！”
C同学掩饰不住内心的喜悦，充满自信地快步走上了讲台。
他的解法如下：|x-1|<3-|x-2
-3+|x-2|<x-1<3-|x-2
解不等式组得0<x<3
教师：“还有其他解法吗？小于，你也上来写一下！”
小于解法如下：∵|x-1|+|x-2|≥|x-1+x-2|=|2x-3
∴3>|x-1|+|x-2|≥|2x-3
即3>|2x-3|解得0<x<3
突然学生D非常激动地站了起来：“我的答案也是这样，为何没得分？”
教师快步上前，接过卷子一看：|x-1|<3-|x-2|两边平方……
“请你上来把过程简要地写一下，我们一起探讨！”
黑板上有了这道题的五种解法，学生们好奇地盯着，生怕漏看了一种。
教师：“大家一起来评判一下这些解法吧！”
学生们踊跃发言，兴致颇高。
——A、B、C三种解法都行，但C的繁了些！
——我和D一样，错在哪儿呢？
——非负数才能平方，3-|x-2|若为负就不能平方了！
——我在一本课外参考书上看到过类似解法，只要解完再检验一下，
即0<x<3时3-|x-2|确为正数也行。
……
唯独没有对小于解法的评论。
教师：“很好，前四种解法我们都理清了，最常用的是分类讨论与数形结合的方法，但作为解答题，从书写得分角度出发，采用分类讨论法更佳，数形结合法往往因书写不到位被扣3分，因而更适用于选择、填空题型。C的解法也不错，我们给他一点掌声！”
说着带头鼓掌，掌声簇拥下我看见C同学更自信了。
教师：“采用D解法的大约有十人，关键是不等式性质没有真正理解和掌握，解无理不等式时也同样容易犯错。”
教师：“小于解法的依据是什么？”
大家齐声答道：“|a|+|b|≥|a+b|”
教师：“最后第二步的转化有问题，除非取等号才成立，否则要讨论。我们一起来帮小于订正！”
不一会儿，同学们就争先恐后地给出了正确答案：
(1)x<1或x>2|2x-3|<3(2)1≤x≤2x-1+2-x<3
解得0<x<3
课后引发了我不少思考。花半堂课时间组织学生讨论这样一个问题是否值得？在备课组活动中，也有老师认为此类题只要掌握分类讨论一种方法即可，无需多讲。但我认为学生是主体，教师应该关注学生的思维火花，只是在高三复习的紧要关头教师该如何围绕学生转，怎样把握好这个“度”呢？
多年教学实践表明，题目不在于讲多讲少，而在于是否讲透。高三学生能力的培养比知识的传授更为重要，学生提出新见解、新思路来解决问题应以鼓励为主，不能置之不理。因为方法的多样化使学生变得聪明自信，在主动探索与合作交流中得到收获同时也促进学生的个性发展。一题多解或一题多变不仅能给学生留下深刻印象而且确实能提高学生思维品质并为终生学习打下扎实基础。因而如何做到合理分配时间，在课堂内外有效引导、解决学生提出的不同思路，需要我们教师不断积累经验、总结完善，力求达到“更好”。
案例7“多棱镜”中看例题
李红宇
对于一个具体的数学问题，如果从不同的角度去审视它，可获得解决该问题的不同方法，即所谓一题多解，结合一道典型的例题，引导学生从不同角度广泛联想，深入思考，突破常规思维大胆猜测，提出新颖的见解，培养学生灵活的思维速度和敢于探索的精神，从而提高课堂教学效率。
例：若不等式x+｜x-2c｜>1的解集为R，求c的取值范围。
角度1：从化归与转化角度考虑，不等式x+｜x-2c｜>1的解集为R不等式x+｜x-2c｜>1在R上恒成立函数y=x+｜x-2c｜的最小值大于1。
于是根据求函数最值的不同思路得到以下不同解法。
解法一：利用绝对值性质求最值
∵｜x｜＞x，∴x+｜x-2c｜≥x+2c-x=2c
∵ymin=2c，∴2c＞1即c＞12
解法二：利用函数的单调性求最值
∵y=2x-2cx≥2c2cx＜2c∴ymin=2c
∴2c＞1，即c＞12
解法三：利用数形结合的思想求最值
y=x+｜x-2c｜=2x-2c(x≥c)2c(x＜2c)
根据其图像得
∴2c＞1，即c＞12
角度2：结合考虑求不等式解集和恒成立问题
解法四：不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R，则当x≥2c时，由原不等式得x＞c+12，故2c＞c+12，即c＞12
当x＜2c，由原不等式得c＞12
综上，要使x+｜x-2c｜＞1的解集为R，只要c＞12。
角度3：利用数形结合来讨论恒成立问题
解法五：不等式x+｜x-2c｜＞1的解集为R｜x-2c｜＞1-x在R上恒成立。
令y1=｜x-2c｜与y2=1-x，在同一坐标中作出两函数图像，易知只要2c＞1。即c＞12时不等式恒成立。
案例8一道不等式题的多变
王易
一题多变，一般情形下就是教师围绕一个解题类型，首先给出一个简单的例题，而后对此例题中一些条件或结论进行一步步地改变，并逐渐加深难度，加以拓广或引申。它的优点是，在教师的引导和启发下，使学生能够在思考问题时，层层深入地分析、理解问题；学生的思维也可以从简单到复杂一步步展开，达到思维的连贯性和深刻性。下举一例：
课本第二册（上）P12例3已知a，b是正数，且a≠b，求证a3+b3>a2b+ab2
师：若把上例题中的条件改为“a，b是正数”，则结论如何变化？（培养学生的观察力）
变式1已知a，b是正数，求证a3+b3≥a2b+ab2（幻灯放映）
