例如：我在讲解映射这一课时的时候，先给出映射的定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射。
记作：f：AB
简单地说就是集合A中的元素不能多，而集合B中的元素可以多，而且A中的任何一个元素在B中对应的元素不能是多个，只能是一个。
然后我为了加强学生对映射概念的理解，引入了一一映射：对于两个集合A、B，若f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且集合B中的每个元素都有唯一的原象，那么这个映射叫做一一映射。
简单地说就是集合A和集合B中的元素都不能多，集合A、B中元素的对应关系是一个对一个的关系。
例：判断下列各组对应是否为映射，如果是映射，是否为一一映射？
(1)A={1，2，3，4}B={3，4，5，6，7，8，9}
对应法则f：x→y=2x+1
解：是映射，但不是一一映射（因为B中的4，6，8在A中没有原象）
(2)A={1，2，3，4}B={2，5，10，17}
对应法则f：x→y=x2+1
解：是映射，也是一一映射
(3)A=ZB=N*
对应法则f：x→y=|x
解：不是映射，因为A中的0在B中没有元素与它对应。
(4)A=R+B=R
对应法则f：x→y=x2+4
解：是映射，但不是一一映射（因为B中的元素有多余）
通过这样可以使学生对映射有个全面地了解，同时可以为反函数概念的引入埋下伏笔，教学实践表明只要一一映射的概念掌握好了，反函数的概念就不难理解。
总之，如果数学概念的内涵过于抽象，理解困难时，就需要通过实例加以说明，通过认识概念的外延区分容易混淆的相近概念。我们在教学过程中要重视数学概念的严谨性，对数学概念的描述、举例以及定义做一番研究，对数学概念的教学做一番改进，尽量避免不必要的错误，提高概念教学的质量，为学习其他知识和方法奠定良好的基础。
案例2在辩误中深化概念
沈灿萍
正确理解数学概念是掌握数学知识的前提。如何让学生确实把握概念是教学的一大重点。合理利用概念中的难点和易忽视的地方，在课堂上设计陷阱，让学生在辩误中体会概念，从而进一步揭示概念的本质，让学生真正掌握概念。
例如，对于“函数的单调性和单调区间”这一概念的教学过程中，为了进一步揭示概念的本质加深对概念的理解，我设计了如下的问题。
问题1：根据图象说出函数的单调递增区间
学生在回答时常忽视端点是否取到的问题，把［-5，-3］认为是函数的单调递增区间，利用这个错误让学生重视单调区间是定义域下的子区间这一问题。同时又有同学认为［1，4］这个区间不能写成（1，4），通过分析让同学明白，函数的单调性一定只在区间上讨论，在一点上不存在单调性问题。所以在本题中（1，4）和\[1，4]都指同一单调区间。
问题2：对于二次函数f(x)=x2，因为-1，2∈(-∞，+∞)，当-1＜2时，f(-1)＜f(2)。所以函数f(x)=x2在区间(-∞，+∞)上是增函数。
问题3：函数y=f(x)定义域为\[0，+∞］，若对于任意的x＞0，都有f(x)＜f(0)，则函数y=f(x)在区间\[0，+∞］上是减函数。
通过问题2，问题3的解答和分析，学生再次审视单调性的定义，从而加深了对定义中任取两变量这一要求的理解。即不能取有特殊值。
问题4：函数y=1x是否为单调函数？单调区间是什么？
对于问题4学生根据它的图象觉得它在整个定义域上是单调递减的函数，我没有正面给出他们的结论是否正确，而是引导学生再次对照单调性的定义自己去判断结论的正确性，通过一番讨论，他们终于知道了该如何回答这个问题，也对单调性这个概念的本质更加清楚了。
实践表明，在讲解单调性这个概念时，这四个问题的设计揭示单调性这一概念有很好的效果。当然，概念的学习不是一次能完成的，必须经过不断运用，多次反思，反复辨析才能对概念真正的把握。
案例3函数单调性教学一例
鲍利人
在高三的第一轮复习中，遇到这样一题：
求y=13x3-x的单调递增区间。
几乎所有学生的答案为：(-∞，-1\]∪\[1，+∞)。
这使我深受震惊，因为这意味着绝大部分的学生对单调性的定义的理解不够深刻，复习完全没有到位。于是第二天在课堂上我设置了如下题组：
1．y=tanx在第一象限是单调递增函数吗？请说明理由！
2．数y=tanx在其定义域上单调吗？请说明理由！y=1x又当如何？
3．已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0，+∞)上为增函数，则y=f(x)在R上是否为增函数？若是，给出证明；若不是，举出反例。
对第2题，让学生重新阅读单调性的定义，引导他们重点理解任取x1，x2中的“任取”两字。终于自主得到突破，这样y=13x3-x的单调递增区间只能是(-∞，-1\]和\[1，+∞)；第3题的讨论非常热烈，通过图象得到如下三种情况，其中x1，x2的取法有三种：
①0≤x1＜x2，②x1＜x2≤0，③x1＜0＜x2充分体现了“任取”两字的深刻内涵。
通过以上题组的练习，学生对单调性的概念终于有了正确、深刻的理解。为了巩固，在课后布置了一道习题：
已知定义在R上的函数y=f(x)，当x∈\[n，n+1)，n∈Z时，y=f(x)的图象是一条斜率为K线段，且f(n)=n，如图13，问：当K为何值时，y=f(x)为单调函数。
在练习中，学生都很好地完成了本题。这说明通过以上讲评，达到了揭示概念要深化的目的。但在以后的学习过程中，依然有极个别的学生会犯前面所提及的错误。看来在第一次向学生介绍有关数学概念时就必须通过恰当的方式，辅以合适的例题，深刻揭示概念的内涵。否则，在今后的学习过程中再修正认识就会非常困难。
案例4对数概念的教学
吴雪凤
背景1：随着新课程改革的到来，以及“减负”呼声的升温，还有知识量、信息量猛增而课时量却在缩减，给我们的老师带来了前所未有的挑战。如何提高课堂45分钟的教学效率，如何寻求一种既适合学生的认知规律，又能让学生更有效地掌握系统的数学知识和技能，同时学会从多元角度进行数学学习，提高必要的数学素养的教学模式，是摆在我们教师面前当务之急的事情。
背景2：由于我校的客观因素的影响，生源越来越差。在我对前两届学生进行“对数的概念”教学时，均以课本方式引入对数概念，事后发现很多学生只是机械地记忆和简单的模仿。教师没有注意新旧知识之间的衔接和过渡，忽视了学生原有知识结构的差异性和接受新知识的层次性，强制地把新概念注入学生头脑，置学生于被动地位。因而学生只能消极地接受定义，知其然而不知其所以然。面对基础更差的本届学生我在每个新概念教学的过程中均设法改变这种不足之处。
案例实录
教师：今天，大家先来玩一个数字游戏。
（学生都喜形于色）
教师：请大家用运算符号将2、3、5三个数字联结起来。
（学生惊讶，因为这实在是太简单了）
学生：2+3=5，5-3=2，5-2=3。
（学生一边讲，教师一边板书，同时根据需要改变了形式）（见板书1）
教师：我们知道，小学里我们先学习了加法，后学习了减法，减法是加法的逆运算。再观察板书1，还能得到什么结论？
学生1：每一个数都能用另外两个数通过加法或减法运算表示出来。
学生2：在不同的等式中，各个数字的名称也随之改变了。
教师：还有其他的互逆运算吗？
学生：6=2×3，3=6÷2，2=6÷3。
（教师写下板书2）
教师：接下来我们再来玩一个游戏，将2、3、8三个数中任一个数也用另两个数表示出来。
（学生很快得到，8=23，2=38，但3=？，学生产生了认知冲突。教师写下板书3）
教师：大家发现，借助现有的运算，无法将3用2和8表示出来。这节课，我们就来研究指数的一种新的逆运算——对数运算（引入定义）
板书1板书2板书3
反思：
1．激发学生的学习兴趣，增强学习数学的信心。通过创设一个深入浅出的问题情境，使学生先是惊讶，然后警觉，最后是恍然大悟。以此刺激学生学习数学的好奇心，使他们积极主动地参与到数学学习活动中来。
2．培养学生运用类比的思想学习数学的意识。高一的学生习惯于形象思维，抽象思维能力较为薄弱，因而以旧知识为载体，把类比思想渗透到数学知识的教学中，有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学之中的类比思想，是使学生由形象思维过渡到抽象思维的好办法。
案例5等差数列中的函数思想
汤建丽
案例背景：数学第一册（上）3.1节中指出数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）上的函数，数列的通项公式也就是相应的函数的解析式，对于这一点，在讲解时可能不会特别注意，或者只是一句话带过，这可能就会导致学生在后面的学习中不会想到用函数的思想来解决数列问题，因此我在学生学完等差数列这一节内容后，特意上了一节一课“等差数列问题中的函数思想的运用”。
案例实施：
上课后让学生回忆等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=和前n项和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d，然后我让学生重新回到3.1节，回顾知识点“数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）上的函数，数列的通项公式也就是相应的函数的解析式，”看过以后要学生指出等差数列通项公式an=a1+(n-1)d是关于什么变量的怎样的一个函数，其中哪些是常量，并通过一个具体的实例an=2+(n-1)3，学生很快会发现an=a1+(n-1)d是关于n的一个一次函数，因势利导学生很快会发现sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d，后一公式表示的是关于n的一个二次函数。
函数思想的运用两例：
1．在等差数列{an}中a4=10，a7=19，求a1及d。
解：从函数的观点看，在等差数列中通项是自变量的一次函数，则有两点
（4，10），和（7，19）得，an=19-107-4(n-4)+10=1+(n-1)·3
所以a1＝1，d＝3
2．首项为正数的等差数列前17项的和等于前9项的和，问n为何值时sn的值最大。
分析：直接解答此题计算量比较大，此时可以引导学能否利用二次函数来解答问题，把Sn=a1+n(n-1)2d，变形sn=d2n2+(a1-d2)n，观察得开口方向有d决定，并有对称性，所以只要用二次函数的性质就可以解答。
解：设公差为d，根据s9=s17，a1>0得d<0，∴sn=d2n2+(a1-d2)n，表示的二次函数开口向下，且对称轴m=9+172=13，故得S13值最大。
案例6反三角概念教学一例
徐丽英
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映，学习数学概念、定理，贵在掌握概念、定理的本质属性，但要做到这一点却非易事。教师在帮助学生掌握概念时，要通过创设适当的“概念性变式”，让学生多角度地理解：由直观到抽象，由具体到一般，排除背景干扰，凸现本质属性和明晰外延等。这样，通过概念性变式教学，有利于学生真正地理解概念的本质属性，进而建立新概念与已有概念的本质联系。
情景
例判断sin(arcsin4)的值是否存在。若存在求出其值，若不存在，请说明理由。
学生一看到问题，就注意到y=arcsinx的定义域为［-1，1］，而4＞1，故断定arcsin4不存在，进而可以断定sin(arcsin4)无意义。
变式1判断arcsin(sin4)的值是否存在。若存在求出其值，若不存在，请说明理由。
这个问题设置在学生的最近发展区，因此，个个有信心，人人有兴趣，积极思维，有的说“无意义”，但进而一想又摇头，有的说有意义，但又不知如何求解，处于“心欲求而未得”，“口欲言而不能”的境地，教师抓住学生的思维“固着点”进行点拨：
教师：从形式上看arcsin(sin4)表示什么？
学生：表示一个角。
教师；它表示什么范围内的角？
学生：是［-π2，π2］内的一个角。
教师：在［-π2，π2］内的哪一个角的正弦值与arcsin(sin4)的正弦值相等？
学生很快从正弦函数的图象中发现是π-4，所以arcsin(sin4)=π-4。
为使学生对反正弦函数概念有更进一步的理解，于是，教师又提出：
变式2判断arcsin(sinx)的值是否存在。若存在求出其值，若不存在，请说明理由。
这是一个以变式1为基础，要求学生进一步探索其一般情况，因此，学生信心十足，积极思考，在讨论、分析的基础上，学生又一次获得了正确的结果：
（1）当时x∈［-π2，π2］时，arcsin(sinx)=x；
（2）当x∈R，但x［-π2，π2］时，arcsin(sinx)=θ其中θ必须满足两个条件：其一θ∈［-π2，π2］；其二sinθ=sinx。
变式2判断arccos(cosx)，arctan(tanx)的值是否存在。若存在求出其值，若不存在，请说明理由。
这是一个既基于变式2，又要求学生在更广阔的空间上来研究相似而又有区别的问题。
反思
在教师的点拨下，经过类比、分析、化归，在积极的思考与探索中，学生亲手获得了一一完美的结果，感受了成功的喜悦。
案例7正余弦定理概念的教学
李芳
在正余弦定理的教学中，为了深化相关数学概念和知识的内在联系，当讲完两个定理后，我提出了一个问题“这两个定理都是反映三角形的边和角的关系，结合这两个定理大家能否得出三角形三个角的三角关系式呢？请试一试”。这激发了学生的积极探求的欲望。
经过思考讨论，学生将正弦定理设出比例系数，代入余弦定理中得到三个角的关系式：
sin2A=sin2B+sin2C－2sinBsinC cosA，①
sin2B=sin2A+sin2C－2sinAsinC cosB，②
sin2C=sin2A+sin2B－2sinAsinB cosC。③
接着，紧抓学生思维的兴奋点，让学生讨论下列问题：
(1)观察等式结构特点，指出等式成立的一个条件。
(学生给出了一个条件：A+B+C=180°)
(2)能否直接写出sin210°+sin250°－2sin10°sin50°cos120°的值？
(3)sin210+cos240°－2sin10°cos40°cos120°=？
(4)sin210°+cos240°+sin10°cos40°=？
学生在观察、类比的过程中积极主动地去探索和发现解题规律，当问题一个个迎刃而解时，学生思维的兴奋点达到了高潮。当完成了(4)后，就有位学生提出“以上①、②、③是否仅在A+B+C=180°时成立？”至此，又引发了新的有深度的问题，更激发了学生的求知。
在教学中，提出富于启发性的问题，捕捉学生创造性思维的兴奋点，鼓励学生去探索，去深化规律，能起到培养学生创新能力的作用。
案例8用实验法深化椭圆定义的教学
石亮
