我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒，或365.2422日。为了防止这多出的0.2422日积累起来，造成新年逐渐往后推移。因此我们每隔4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的28天改为29天。这样，闰年便有366天。不过，这样补来也不刚好，每百年差不多又多补了一天。因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！这就是常说的“百年24闰”。但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四百年再补回来一天。因此又规定，公元年数为400倍数者设闰。就这么补来扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被400整除，又要设闰，如此等等。
闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度。为了揭示关于星期几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数。
公元1800年，德国数学家高斯在研究圆内整点问题时，引进了一个函数y＝［x］
后人称之为高斯函数。
［x］是表示数X的整数部分，如：
［π］=3
［—4.75］=—5
［5—12］=0
［1988］=1988
利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元X年第y天是星期几。这里变量X是公元的年数；变量y是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数。历法家已经为我们找到了这样的公式：
s=x—1+［x—14］—［x—1100］+［x—1400］+y
按上式求出S后，除以7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余数为几，则为星期几！
例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日。容易算得：
x—1=320y=66
s=320+［3204］—［320100］+［320400］+66
=320+80—3+0+66
=463≡1（mod7）
最后一个式子的符号表示463除以7余1。也就是说，这一天为星期一。这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！
又如，我们共和国成立于1949年10月1日：
x—1=1948y=274
s=1948+［19484］—［1948100］+［1948400］+274
=1948+487—19+4+274
=2694≡6（mod7）
原来，这一普天同庆的日子为星期六。
公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是星期几呢？
x—1=1999y=1
s=1999+［19994］—［1999100］+［1999400］+1
=1999+499—19+4+1
=2484≡6（mod7）
计算表明：这一天也是星期六！
并非危言耸听
公元1972年，尼克松被再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克癌症。建议立即被采纳。美方赠送了苏供研究的23种致癌病毒；苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本。
翌年一月，美国国立癌症研究中心决定，将前苏联的癌细胞标本分送给几位科学家研究。其中的一份，送到了加州细胞培养所长实验所所长尼尔森芮斯博士手上。
尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清了，所有苏方赠送的六各标本，全是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞。
原来拉克丝1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌。这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力和生命力。拉克丝从发现第一个病灶到死亡，整个过程不足八个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞竟以y=A0·2x。
这样的指数曲线疯狂地生长！每24小时便增加一倍（上式中A0为原始数量，X为天数）。就这样，这种新发现的癌细胞被命名“海拉”，并被严格控制于实验室。
“海拉”细胞在不足一个月时间内，便能增加数千万倍，这使过去一直认为的，健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象，得到了新的解释。原来所谓“自发”转变，只不过是“海拉”细胞消灭并占领了整个培养物！
然而事过二十多年，“海拉”细胞不仅没有死亡，而且还令人费解地流到国外，出现在莫斯科！于是，尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟：“如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长，那么到现在为止，它们很可能已经占领整个世界！”
这是危言耸听吗？不！这是科学的结论！
如果任其疯狂生长，那么按理论计算，一年后将达到y=A0·2365。
现在，我们已经有了对数工具，让我们计算一下，这个数字究竟有多大lgy=lgA0+lg2365。
=lgA0+365×lg2
=lgA0+365×0.3010
lgyA0=109865
从而y=7.328×10109A0
这样多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分！
好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的繁殖和生长。
具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制人类自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！
公元初地球上的人口不足2亿5千万人，到公元1650年世界人口也才达到5亿，让我们计算一下这段期间世界人口的增长率P：
∵5×108=2.5×108（1+P）1650
∴2=（1+P）1650
lg2=1650lg（1+P）
∵lg（1+P）=0.3010÷1650=0.0001824
∴1+P=1.00042
P=0.042%
这就是说，在公元后的1600年里，人类人口每年只平均增长万分之四多一些。然而，从公元1650年到公元1800年，仅一个半世纪，世界人口又翻了一番。可以算出这期间世界人口增长率为0.46%，比前面高了十倍！而从1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿。1960年达30亿，1975年达40亿，1987年达50亿……世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上方！
科学家们告诫说：我们这个赖以生存的地球，最多只能养活80~100亿人类。然而，按目前世界人口的增长速度，公元2000年，世界人口将达65亿，而公元2025年将突破100亿！再下去地球将无法承担这一负荷，人类将最终毁灭自己！
这是危言耸听吗？不！这是科学向人类提出的警告！
公元1987年7月11日，生活在这个星球上的第50亿个人，在南斯拉夫的萨格勒布市诞生了！这一天联合国人口活动基金会组织，向世界各国首脑，分别赠送一台特制的“人口钟”。这是一种奇异的计时器，除通常钟表功能外，还能显示该时刻世界总人口的预测数，及每分钟各国人口的变化，它将随时提醒各国首脑重视人口问题。
地震与对数
用数学方式描述自然现象似乎是人类的需要。大概人们希望从中发现一些方法，以便能够控制自然——也许只是通过预报。
就像地震那样，初看起来似乎很难与对数之间有什么关联。但用以测量地震强度大小的方法，却把两者联系起来。美国地震学家C·F·里兹特，在1935年设计了一种里氏震级。那是由地震的震中释放出的能量来描述。里氏震级是释放能量的对数。里氏度数上升1级，地震仪曲线的振幅增大10倍，而地震能量的释放大约增加30倍。例如，一次5级地震是一次4级地震释放能量的30倍；而一次里氏8级地震所释放的能量，差不多是一次里氏5级地震的303即27000倍。
里氏震度从0到9分为十级。但从理论上讲，它并没有上限。大于45级的地震便会造成损害。强烈地震的震级大于7。如1964年阿拉斯加地震为里氏84级；而1906年旧金山地震为里氏7.8级。1976年唐山大地震为里氏7.8级。2008年5月12四川大地震为里氏8.0级。
今天，科学家们把对地震的研究，纳入了地震学和地球物理学的领域。精密的仪器和方法被找到或被设计出来。最早的仪器之一——地震记录仪一直使用至今。它能自动地发现、测量地震或其他大地震动，并绘制出相关的图表。
追溯和预测
公元1896年，法国物理学家贝克勒尔发现，铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线，这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想，该不是只有铀才能发出射线吧！经她悉心研究，终于又发现了一些放射性更强的元素。
公元1903年，杰出的英国物理学家卢瑟福，设计了一个极为巧妙的实验，证实了放射性物质放出的射线有三种，而且在放出射线的同时，本身有一部分蜕变为其他物质。蜕变的速度不受冷热变化、化学反应及其他外界条件的影响。
经科学家们不懈努力，人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律：即蜕变的变化量m，与当时放射性物质的质量m及蜕变时间成正比。也就是说：
m∝—mt
右端的负号是因为蜕变后放射性物质减少的缘故。
上式写成等式便是：
m=—kmt
其中m=m0e—kt
下面我们计算一下，究竟需要多长时间，才能使放射性物质蜕变为原来的一半。为此，令m=12m0，于是：
12=e—kt
lg12=—kTlge
从而T=lg2klge=0.693×1k
这是一个常量，这个常量只与放射性物质本身有关，称为该放射性物质的半衰期。右上图画的是镭的衰变情况：每隔1620年质量减为原来一半。下表列的是一些重要放射性物质的半衰期。
元素同位素符号半衰期
钍Th2321.39×1010年
铀IU2384.56×109年
镭Ra2261620年
钋IPo210138天
钋IIPo2141.5×10—4秒
钋IIIPo2160.16秒
铀IIU2342.34×105年
铀是最常见的一种放射性物质，由上表得知，它的半衰期为45亿6000万年。也就是说，过45亿6000万年之后，铀的质量剩下原来的一半。由于铀蜕变后，最后变成为铅，因此我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅，便可以算出岩石的年龄。科学家们正是利用上述的办法，测得地球上最古老岩石的年龄要为30亿年。当然，地球年龄要比这更大一些，估计有45至46亿年！
应用上面的数学方法，不仅可以使我们科学地追溯过去，而且可以帮助我们科学地预测将来。在儒勒·凡尔纳的《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，作者描述了一个精彩动人的故事：
“已经移去了两旁撑住船身的支持物，船准备下水了。只要把缆索解开，船就会滑下去。已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着。”观众满怀着好奇心注视着这件工作。这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方，出现在人们的眼前。原来这艘快艇要进港口，必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞前面。所以一听见快艇发出信号，大船上的人为了避免发生意外，就停止了解缆下水的操作，让快艇先过去。假使这两条船，一条横着，另一条用极高的速度冲过去，快艇一定会被撞沉的。
工人们停止了锺击。所有的眼睛全都注视着这只华丽的船，船上的白色篷帆在斜阳下像镀了金一样。快艇很快就出现在船坞的正前面。船坞上成千的人都出神地看着它。突然听到一声惊呼，“特拉波科罗”号正当快艇的右舷对着它的时候，开始摇摆着滑下去了。两条船就要相撞了！已经没有时间、没有方法能够防止这场惨祸了。“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去……船头上卷起了因摩擦而起的白雾，船尾已经没入了水。
突然出现了一个人，他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有10秒钟。最后，缆索断了。可是这10秒时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻轻擦了一下快艇，就向前驶了开去！
快艇脱了险。
下面我们用数学的方法来分析一下“特拉波科罗”号事件：
公元1748年，瑞士数学家欧拉在他的传世之作《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题。欧拉发现：对于一个很小的转角a，绳子的张力差的量值T与T及a成正比。即：
T∝α
写成等式为T＝—kTα
式中k为摩擦系数，负号是因为问题中张力的值是减少的。
其中T＝T0e—ka
这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式。
现在转到故事中来。假定“特拉波科罗”号船体重50吨，船台坡度为1：10，那么船的下滑力约为5吨，即5000公斤；又假设马蒂夫来得及把缆绳在铁桩上绕了三圈，即：
a=2π×3=6π；
而绳索与铁桩之间的摩擦系数k=0.33。
把上述数值代入欧拉公式，便可得到马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气力T（公斤）为：
T＝5000×e—0.33×6π
T的值是很容易用对数的方法求出来的：
lgT=lg5000—0.33×6×3×3.1416lge
=3.6990—0.33×6×3.1416×0.4343
=0.9975
T=9.943（公斤）
这就是说，儒勒·凡尔纳笔下那位力挽狂澜的“大力士”。实际上所用的力气不足10公斤。这是连一个少年都能做得到的！
轮流骑车何时到？
甲、乙两人骑自行车旅行，某甲中途车坏，只好停下来修理，但最后因无法修复而决定舍弃坏车，继续前进。然而，此时两人只有一车，于是约定：一人骑车，一人步行。骑车的人到某一地方把车留下，改为步行；而后面步行的人，起到留车的地方换成骑车。骑一段时间后又改成步行，把车留给后者。如此这般，两人轮流骑车。问从某甲车坏时起，最少需要花多长时间，两人才能同时抵达目的地？
假定车坏处（O）与目的地（E）之间的距离为60公里，自行车速度为15公里/小时，步行速度为5公里/小时。
下面让我们通过作图来探讨一下可能的解答：
以O为原点，时间为X轴，距离为Y轴，建立坐标系XOY，由于人步行的速度和自行车速度都是变化过程中的常量，因此它们分别表现为坐标系XOY中的射线OC和OD。
如上图（A），令E1、E2分别为甲、乙两人车坏后第一次和第二次相遇的地点。此时，某甲先是步行到A1，然后骑车经过E1抵达A2，又改成步行到E2；而某乙则先骑车到B1，然后由B1步行经E1到达B2，又改成骑车抵E2；当然，在E2相遇后各人依然继续前行。由于车速和人速始终保持不变，所以表示骑车或表示步行的线段，应当各自平行。即四边形OA1E1B1及E1B2E2A2均为平行四边形。又注意到甲改步行为骑车，与乙改骑车为步行，位于同一地点。因此线段A1B1及A2B2等都平行于X轴。假定两次换车的地点距O处分别为y1，y2公里。则因射线OC、OD的方程为：
OC：y＝5X
OD：y＝15x
可得A、B两点的坐标如下：
A（y15，y1），B（y115，y1）
从而E1点坐标（xE1，yE1）为：
xE1=xA+xB=y15+y115=415y1
yE1=yA+yB=2y1
∵yE1xE1=2y1415y1=152
