第35章 三角函数(7)

这是一个夏天，静寂的热气在大地上蒸腾，闪着光，闲散而轻柔的晃动着，俨如在小溪里游动着的鱼。

而远处，那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。底下是一片被灼热的阳光所笼照的田野，裸麦的花粉在田间飘浮着，像一片轻烟。

泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着，他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。他们边抽着烟边议论着琐事。

一贵族说道：“亲爱的泰勒斯先生，请您告诉我，你到埃及的日子里有些什么收获呢？总不会空空而回吧？”

因为泰勒斯也是贵族出身，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，只带些钱去埃及游学了。所以，认识他的人都把他叫做傻子。而这个贵族正是基于此，想找个法子戏弄他。

泰勒斯从容不迫地答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同，也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。”

众贵族子弟望着他，泰勒斯又说道：“我这次到埃及游学，我认为我得到了我一生中最大的收获，我把埃及人的几何知识提到了理论高度，并给予证明。”

那贵族说道：“我请问泰勒斯先生，你的那些东西我们都看到过了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高吗？”

泰勒斯听这么一说，当时没有马上想出办法，便说：“怎样测出金字塔的高度，让我回去好好想一想，咱们5天后见！”

其实，不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。最着急的应该是尼罗河的祭司们，因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。

到了第5天，泰勒斯如约而至。由于这些贵族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼罗河祭司站在最前边。

泰勒斯望着人们，清了清嗓子，说道：“你们不是想知道金字塔的高度吗？这其实是很简单的事。”

人们听他这么一说，嘈杂的人群立时静了下来，千百双眼直盯着泰勒斯。

泰勒斯说道：“当你自己的影子和你身体一样高时，你就去测量金字塔的影长，这便是金字塔的高度。”

多聪明的主意！

全城的老百姓怔了一会，忽地拥向泰勒斯，把他高高抬起，欢呼着。而想戏弄泰勒斯的贵族为自己的无知深深地低下了头。那时祭司们则慌慌忙忙回去拿皮尺了。

业余数学家之王——费马

费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。

费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17世纪的法国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。1523年，存在着一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。

鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也使政府的财政状况得以好转。因此到了17世纪，除宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日，法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质。法国的买官特产，使许多中产阶级从中受惠，费马也不例外。费马尚没有大学毕业，家人便在博蒙·德·洛马涅为其买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。

尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职，而且逐年得到提升，但是据记载，费马并没有什么政绩，应付官场的能力也极普通，更谈不上什么领导才能，不过，费马并未因此而中断升迁。在费马任了七年地方议会议员之后，升任了调查参议员，这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。

1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。

费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。

费马生有三女二男，除了大女儿克拉莱出嫁之外，另外四个子女都使费马感到体面。两个女儿当上了修女，次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特·萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师，而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。从这个意义上说，萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。

费马一生身体健康，只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于1月10日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯公墓，后来改葬在图卢兹的家族墓地中。

对解析几何的贡献

费马独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理。

1629年以前，费马便着手重写公元前3世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。

费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。

《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。

笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。

在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。

对微积分的贡献

16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼兹是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以至于在微积分领域，在牛顿和莱布尼兹之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。

曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘，直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟了一个十分广阔的思考空间。

费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分作出了重大贡献。

对概率论的贡献

早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。16世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。

费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15/16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里摸球。其实，这项研究为概率的数学模型——概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。

费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。

一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了，费马的贡献便在于此。

对数论的贡献