关于倍立方体问题的起源，有两个神话传说。第一个是属于古希腊著名数学家、天文学家、哲学家埃拉托塞尼（前276—前195年）的。传说由于古希腊提洛岛（爱琴海上小岛）上瘟疫流行，人们向太阳神第力亚祈祷，据说神要求把它殿前的祭坛的体积扩大一倍，而保持祭台的立方体形状不变。因此，后人往往称倍立方体问题为提洛问题。由于提洛岛上的居民并没有完成太阳神的“要求”，所以瘟疫也没有消除。后来人们去向哲学家柏拉图求教，但他却搪塞地回答：“上帝大概不满意你们很少研究几何学吧！”另一个故事是说克里特王米诺斯为儿子修墓，命令将原来设计的体积加倍，但仍保持立方的形状。
倍立方体问题的实质就是用标尺作图的方法求作线段32，许多数学家为解决这个著名问题而耗费了不少精力，但无一取得成功。法国数学家笛卡尔就是最早公开申明标尺不能作32线段的，1637年他提出一个问题：非立方有理数的方根一般不能简化为有限次的开平立方运算。至1837年法国数学家凡齐尔（1814—1848年）首次运用了代数的方法严格证明了这个问题是标尺作图不可能的，至此这个才算获得解决。但由于对它的研究，使人们发现了一些特殊的曲线，如圆锥曲线、蚌线、蔓叶线等，促进了圆锥曲线理论的建立和发展。人们还发现，只要不受标尺作图工具的约束，倍立方体的问题是可以解决的。
稀少而有趣的完美数
已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如6，12，14这三个数的所有真因数：
6：1，2，3；1+2+3=6
12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=16>12
14：1，2，7；1+2+7=10<14
像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数；恰好相等的（如6）叫做完全数，也称为完美数。
古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年，尼哥马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章……它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。”
现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完全数。前5个分别是：6，28，496，8128，33550336。完全数有许多有趣的性质，例如：
1.它们都能写成连续自然数之和。
6=1+2+3，
28=1+2+3+4+5+6+7，
496=1+2+3+4+……+31，
8128=1+2+3+4+……+127；
2.它们的全部因数的倒数之和都是2。
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/（14）+1/（28）=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/（16）+1/（31）+1/（62）+1/（124）+1/（248）+1/（496）=2
拿破仑定理的特性
拿破仑是法兰西第一帝国的皇帝（1804—1814年在位），他不仅是军事家、政治家，而且还非常喜欢研究数学，他发现了以下著名的定理：
拿破仑定理若在任意三角形的各边向外（内）作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。
C为线段AB上一点，ACE、BCF、ABD是正三角形，O1、O2、O3分别是它们的中心。求证：ΔO1O2O3是正三角形。
证明延长AE、BF交于D′，连结AO3、BO3、AO1、BO2，延长O4、AO1交于O4。则O4是正ABD′的中心，由对称性知，四边形AO3BO4是菱形。连结O3O4，由题意知，∠O4AO3=60°，故AO3O4是正三角形。设AC=a，BC=b，则可算得：
AO1=33a，BO2=33b，BO4=33（a+b），
故O2O4=AO1=33a，则可证得：
ΔO3AO1≌O3O4O2，因而O3O1=O3O2，∠O1O3O2=60°，故O1O2O3是正三角形。
从上面特例中，我们应知道很多数字问题就是从特殊到一般，再由一般到特殊的这样转化。即将特殊问题一般化，对一般化问题可以特殊化后研究，掌握这种思想方法可使人受益匪浅。
梅森素数的魅力
素数又称质数，是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数（如2、3、5、7、11等等），素数有无穷多个。而形如“2的P次方减1”（其中指数P为素数）的素数称为梅森素数，以17世纪法国著名数学家、法兰西科学院奠基人梅森的名字命名。梅森素数是数论研究中的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。英国著名数学家索托认为对它的研究可以检验人们的智慧和运算能力。
早在公元前300多年，古希腊数学大师欧几里德就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河，他在《几何原本》这一经典著作中论述完全数时曾研究过这种特殊素数。由于梅森素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家，如费马、笛卡尔、莱布尼兹、欧拉、高斯、哥德巴赫、哈代、柯尔等和无数的数学爱好者对它进行研究和探寻。这种素数珍奇而迷人，因此被人们称为“数海明珠”。
梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力靠心算证明了“2的31次方减1”是第8个梅森素数，该素数有10位数，是当时世界上已知的最大素数。1963年9月6日，当第23个梅森素数“2的11213次方减1”通过大型计算机发现时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以至于把所有从系里发出的信件都盖上了“‘2的11213次方减1’是个素数”的邮戳。特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的准确表达式，为人们探寻梅森素数提供了方便；后来这一成果被国际上命名为“周氏猜测”。
探寻梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效的途径；它推动了数学皇后——数论的研究，也促进了计算数学、程序设计技术、网格技术以及密码技术的发展。探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。
因此，科学家们认为，对于梅森素数的探寻能力如何，已在某种意义上标志着一个国家的科技水平。
三十六军官问题
大数学家欧拉曾提出一个问题：即从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？如果用（1，1）表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官，用（1，2）表示来自第一个军团具有第二种军阶的军官，用（6，6）表示来自第六个军团具有第六种军阶的军官，则欧拉的问题就是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看，都恰好是由1、2、3、4、5、6组成。历史上称这个问题为三十六军官问题。
三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决，直到20世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推广到一般的n的情况，而相应的满足条件的方队被称为n阶欧拉方。欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=4t+2阶欧拉方都不存在。t=1时，这就是三十六军官问题，而t=2时，n=10，数学家们构造出了10阶欧拉方，这说明欧拉猜想不对。但到1960年，数学家们彻底解决了这个问题，证明了n=4t+2（t≥2）阶欧拉方都是存在的。
数学谜语（四）
一、打数学名词；
1.五四三二一；
2.缺了会计；
3.邮寄账本；
4.信件统计；
5.替人查账；
6.查账；
7.开奖；
8.算术老师的教鞭；
9.一笔债务；
10.商店盘货；
11.用；
12.同室操戈；
13.团体赛；
14.兵对兵，将对将；
15.左右夹攻；
16.重判；
17.轻判；
18.车站告示；
19.背着喇叭；
20.待命冲锋；
21.朱元璋登基；
22.婚姻法；
23.演员招考制度；
24.五角；
25.员；
26.刀口；
27.海峡两岸盼统一；
28.有情人终成眷属；
29.马路没弯儿；
30.两个寨子隔条岗，南寨没有北寨强；南寨好汉有五条，不及北寨人一双；
31.健全法制；
32.儿童储蓄；
33.聚散无常；
34.千丝万缕；
35.身高；
36.会谈；
37.欲言又止；
38.保持距离，同时起飞；
39.五角钱一趟；
40.浮萍；
41.互盼；
42.合家欢；
43.恰如其分；
44.一望无际；
45.一模一样；
46.哨声响了；
47.减法没算对；
48.垂钓；
49.走致富之路；
50.北；
51.抬头望月，正好初八；
52.二胡调音；
53.时刻盼望上战场（打数学二名词）；
54.丞（打数学三名同）；
55.一个邮递员掀起了信箱的盖子，在清点有多少信件。你能根据这一情况猜出三个数学名词吗？
二、打数学家名字
1.虎丘游春；
2.博览群书。
三、打其他方面的
1.八十五（打一影片名）；
2.三八二十四（打一体育名词）；
3.四加四（打一字）；
4.+—×÷（打一政治名词）；
5.圆规画鸡蛋（打一城市名称）；
6.力（打一珠算口诀）；
7.千古兴亡多少事（打三学科名称）；
8.向阳村和青松村比赛篮球。向阳队是东方乡的冠军，而青松队是长丰乡的冠军，这场两个冠军队的比赛打得非常激烈、精彩，每球必争，比分不相上下，直到最后一分钟，向阳队罚进一球才分出胜负。当有人问起胜负情况和比分时，向阳队的球员说，这次比赛是“白”字比“杂”字，我们只赢了一分，你知道两队各得几分？
谜底：
一、1.倒数；
2.无理数；
3.函数；
4.函数；
5.代数；
6.对数；
7.对数；
8.指数；
9.负数；
10.复数；
11.半角；
12.内角；
13.公共角；
14.同位角；
15.两面角；
16.加法（谜面意即“加罚”，“罚”与“法”谐音）；
17.减法；
18.乘法（乘车方法，取乘法）；
19.负号；
20.等号；
21.消元；
22.结合律；
23.优选法；
24.半圆；
25.圆心；
26.切点；
27.同心圆；
28.同心圆；
29.直径；
30.算盘；
31.圆规；
32.微积分；
33.不定积分；
34.繁分式；
35.立体几何；
36.集合论；
37.控制论；
38.平行；
39.一元二次；
40.不定根；
41.相等；
42.共圆；
43.精确值；
44.无穷大；
45.全等；
46.集合；
47.误差；
48.等于（“于”与“鱼”谐音）；
49.趋向无穷；
50.反比（反扣法，“北”反为“比”）；
51.正弦（假借法，因为初八月亮是上弦，“上”含“正”，故为“正弦”）；
52.正弦；
53.等角、正切；
54.大于、小于、分子（用增损法猜测）；
55.开立方、函数、几何。
二、1.苏步青；
2.张广厚。
三、1.月到中秋；
2.女子双打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“双打”，因为十二为一打）；
3.积（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“积”字）；
4.分裂主义；
5.太原（“原”与“圆”谐音）；
6.二一添作五；
7.历史、代数、几何；
8.九十九比九十八（“白”是“百”减“一”：“杂”是“九”、“十”、“八”的组合）。
中国研究求圆周率第一人——刘歆
刘歆（公元前50—后20年），字子发，汉宗室刘向之子，对于数术方技颇有研究，为中国研究求圆周率之第一人。
中国古代之诸算经中，是用三来作为圆周率的近似值，后来刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗、祖冲之父子对这个问题加以研究。刘歆之圆周率π=3.1457是如何计算出来，虽已无法可考，但刘歆为王莽制造标准之量器，名嘉量斛，确实是用了3.1457这个数值。
科学之祖——泰勒斯
泰勒斯（约公元前625—前547年），古希腊哲学家，米利都学派的创始人，希腊七贤之一。
泰勒斯生于米利都，他的家庭属于奴隶主贵族阶级，据说他有腓尼基血统，所以他从小就受到了良好的教育。泰勒斯是古希腊的著名哲学家，天文学家、数学家和科学家。他招收学生，建立了学园，创立了米利都学派。他不仅是当时自发唯物主义的代表，同时也是较早的科学启蒙者。
他生活的那个时代，整个社会还处于愚昧落后的状态，人们对许多自然现象是理解不了的。但是，泰勒斯却总想着探讨自然中的真理。因为他懂得天文和数学，又是人类历史上比较早的科学家，所以，人们称他为“科学之祖”。
泰勒斯早年是一个商人，曾到过不少东方国家，学习了古巴比伦观测日食月食和测算海上船只距离等知识，了解到腓尼基人英赫·希敦斯基探讨万物组成的原始思想，知道了埃及土地丈量的方法和规则等。他还到过美索不达米亚平原，在那里学习了数学和天文学知识。以后，他从事政治和工程活动，并研究数学和天文学，晚年转向哲学，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，获得了崇高的声誉，被尊为“希腊七贤之首”，实际上七贤之中，只有他称得上是一个渊博的学者，其余的都是政治家。
泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：
1.保证命题的正确性，使理论立于不败之地；
2.揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；
3.使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在几何学中，下列的成果基本归功于他：
1.圆被任一直径所平分；
2.等腰三角形的两底角相等；
3.两条直线相交，对顶角相等；
4.已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；
5.对半圆的圆周角是直角；
6.相似三角形对应边成比例等等。
泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明对相似形已有初步认识。
泰勒斯年轻时去过埃及，在那里，他向埃及人学习了几何学知识。但埃及人的几何学在当时只是为了划分地产而研究的。
在那里，埃及的人们只懂得在一块具体的地面上来规划、计算，以弄清人们的地产界线。因为，每年尼罗河一涨水，所有的地面痕迹都被冲毁了，人们在洪水退去后不得不重新进行测量计算。
埃及人很早在实践中就懂得“所有直径都平分圆周；三角形有两条边相等，则其所对的角也相等”，但都没有从理论上给予概括，并科学地去证明它。
泰勒斯并不满足于仅仅向埃及人学习这些，他经过思考将这些具体的，只是实际操作的知识给予抽象化、理论化，使之概括成为科学的理论。
上面所概括的几条定理，是埃及人在几百年前在实践中便得知的，但并没有把具体的知识提升到理论高度，泰勒斯在这方面作出了卓越的贡献。
泰勒斯不仅把具体的知识理论化，而且还天才地将理论运用到实际中去。下面讲一个泰勒斯解决金字塔高度的故事。
