哥德尔（1906—1978年）的举止以“新颖”和“古怪”著称，爱因斯坦是他要好的朋友，他们当时都在普林斯顿。他们经常在一起吃饭，聊着非数学话题，常常是政治方面的。麦克阿瑟将军从朝鲜战场回来后，在麦迪逊大街举行隆重的庆祝游行。第二天哥德尔吃饭时煞有介事地对爱因斯坦说，《纽约时报》封面上的人物不是麦克阿瑟，而是一个骗子。证据是什么呢？哥德尔拿出麦克阿瑟以前的一张照片，又拿了一把尺子。他比较了两张照片中鼻子长度在脸上所占的比例。结果的确不同：证毕。
哥德尔一生花了很大精力想搞清楚连续统假设（CH）是否独立于选择公理（AC）。在20世纪60年代早期，一个初出茅庐的年轻数学家柯恩，与斯坦福大学的同事们聊天时扬言：他也许可以通过解决某个希尔伯特问题或者证明CH独立于AC而一举成名。实话说，柯恩当时只是傅里叶分析方面的行家，对于逻辑和递归函数，他只摆弄过不长时间。柯恩果然去专攻逻辑了，大约用了一年的时间，真的证明了CH与AC独立。这项成果被认为是20世纪最伟大的智力成就之一，他因此获得菲尔兹奖（比自然科学界的诺贝尔奖还难获得）。柯恩的技术是“力迫”法，现已成为现代逻辑的一种重要工具。
当初的情形是：柯恩拿着证明手稿去高等研究院找哥德尔，请他核查证明是否有漏洞。
哥德尔起初自然很怀疑，因为柯恩早已不是第一个向他声明解决了这一难题的人了。在哥德尔眼里，柯恩根本就不是逻辑学家。柯恩找到哥德尔家，敲了门。门只开了6英寸的一道缝，一支冷冰冰的手伸出来接过手稿，随后门“砰”地关上了。柯恩很尴尬，悻悻而去。不过，两天后，哥德尔特别邀请柯恩来家里喝茶。柯恩的证明是对的：大师已经认可了。
维纳（1894—1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了。维纳早期在英国，有一次遇见英国著名数学家李特尔伍德时说：“噢，还真有你这么个人。我原以为Littlewood只是哈代为写得比较差的文章署的笔名呢。”维纳本人对这个笑话很懊恼，在自传中极力否认此事。此故事的另一种版本说的是朗道：朗道很怀疑李特尔伍德的存在性，为此专程去英国亲自看了这个人。
维纳后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年。他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎。有一次，一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案。实际上这位学生并不想知道答案，只是问他“方法”。维纳说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法。
维纳最有名的故事是有关搬家的事。一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你。”
有一次，维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的……
“3x+1”猜想
当代，有一个风靡世界有趣的“问题”，人人都会演算，但要证明它却像对付坚硬的磐石，它似乎能轻而易举地挫去你智慧的锋芒。
问题：从1到n的任何一个自然数，只要对n反复进行下列两种运算：
（1）如果n是偶数，就除以2；
（2）如果n是奇数，就乘以3加1，
最后的结果总是1。
因为这是个形式上很简单的问题，要理解这个问题所需要的知识不超过小学三年级的水平，所以每一个数学爱好者都可以来碰碰运气，试试是不是能证明它。不过在这里要提醒大家的是，已经有无数数学家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，他们都没有成功。二十多年前，有人向数论学家保尔·厄尔多斯介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”
角谷静夫曾用计算机验算到7×1011，并未出现反例。1992年李文斯和孚门南也以计算机对小于5.6×1013的正整数进行验证，也未发现反例。
3x+1问题由来
大约在20世纪30年代，世界许多国家流传着这样一道题目：任取一个自然数x，如果它是偶数，则除以2；如果是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1。
例如取x为6，6→6÷2=3→3×3+1=10→10÷2=5→5×3+1=16→16÷2=8→8÷2=4→4÷2=2→2÷2=1。
有趣的是，不管你取什么自然数，依照上面规则，最后总是“百川归大海”，都会得到1。
这是偶然的巧合吗？无论用手工计算还是计算机检验、人们都发现上述结论是对的。如日本东京大学米田信夫验算x=2040（大约是12000亿）以下所有的自然数，答案都是1。
自然数有无限多个，对一切自然数“3x+1问题”都成立吗？
从数学角度来讲，它实际上是个函数迭代问题。自然数x为奇数时，f（x）取3x+1；
当x为偶数时，f（x）取x/2.写成式子即
f（x）=x/2（当x为偶数）3x+1（当x为奇数）
一般来讲，任取一个x，经过有限次函数f的迭代，能否最终得1？
世界上有许多数学家对此都进行过研究，采用验证的方法，都发现结论是对的，但却给不出理论证明。因此，人们叫它“3x+1猜想”。
“猜想”流传之广，名目繁多是空前的。如20世纪30年代，德国汉堡大学年轻的学生柯拉茨曾研究过3x+1，人们就称呼为“柯拉茨问题”。后来又以出现的地名或人名分别称呼为“叙拉古问题”、“汉斯算法”、“西那库斯问题”等等。
据说，当时的小孩都知道这个问题。
一些世界一流的数学家也卷入研究3x+1猜想，如美籍波兰数学家乌拉姆（1909—1984年，美国科学院院士）于1935年曾传播过，被人称为“乌拉姆问题”……
在美国，一位数学家说：“有一个时期，在美国大学里，它几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它。”
在日本，它被称为“角谷猜想”。1960年角谷静夫曾撰文描写过人们对这个问题的狂热情景：“据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但没有任何非果。芝加哥大学提出这个问题后，也出现了同样的现象。甚至有人开这样一个玩笑说，这个问题是企图减缓美国教学研究发展的一个阴谋。”足见这个问题的巨大吸引力。
从上可知，“猜想”最早诞生在20世纪30年代，但谁人何时首先发现已无法考证了。
离奇曲折的难题
“3x+1猜想”本身的叙述所涉及的知识不超过算术四则，探索者在迭代过程中发现，它的变化并无规律，真是变化无穷；神奇莫测，如送代运算过程中，算出来的数字忽大忽小。如取x=17，迭代过程为17→52→40→20→10→5→16→8→4→2→1；有的迭代过程很多。从x=17算到1要经过112步。因此，有人把迭代过程中这种变化莫测现象形容为云中的小水滴，在高空气流的作用下，忽高忽低，遇冷结冰，体积越来越大，因此不断反复，最后变成冰雹落了下来，而运算数字最后也像冰雹一样掉下来，变成了1！由此它又得到一个雅号，将迭代所得的一列数称为雹数，此问题叫“冰雹猜想”。
此外，探索者还发现许多怪现象，如迭代中出现的最大值的变化也很少有规律，不论你怎样现察，很难寻觅暗藏的玄机。
另辟蹊径转向研究推广
数学家正面直接证明3x+1猜想，屡屡失败，但他们雄才大略，有一项开疆拓宇的雄心，有人提出另一条攀登蹊径，特殊的3x+1猜想证不出来，干脆放眼解决一般性ax+b问题：即从任一个正整数x开始，经过有限次迭代能否得到1？这就是3x+1猜想的推广。
这种个别的特殊问题还没解决，怎么可能异想天开地解决一般问题呢？其实不然，在科学研究中，将个别问题加以推广，也是发现个别问题实质的一种思维过程，一旦获证，人的认识可能提高，这叫“居高临下”；其次，一般的问题可能比个别的问题更导解决，这不仅是因为一般问题也许抓住了问题的实质，而且一般问题容易与更广阔的背景联系起来使思路开阔，这就是美籍匈牙利数学家波利亚（1897—1985年）所说的“发明家悖论”：雄心大的计划，成功的希望也大。于是，出现了许多3x+1猜想的推广。
角谷猜想的推广：设k是一个给定的非负整数，对任何自然数x，
f（x）=x/2，（当x为偶数）3x+3k（当x为奇数）
由经过有限次数函数f迭代后，必出现3k。
我国张承宇在《自然杂志》1990年第五期上提出了一组有趣的推广，并作了相应验证，如：
3f（x）=x/2或x/3或x/5或x/7，（x为自然数）
11x+11k（2，3，5，7都不整除x，k非负整数）
他验证了k=1，2，x≤1000时成立等。
国外有人还研究了“3x+1问题”的对偶问题，“3x—1问题”即f（x）x/2（当x为偶数）3x—1.（当x为奇数）对于x小于1亿的数结论正确，但未获一般性证明。
还有人引进如下的柯拉茨一般性证明。
C（x）=（3x+1）/2e（x）
其中e（x）是3x+1所含的因数2的个数。如x=13时，3x+1=40=5×2，故e（13）=3。
一般地，设a与b是互质的正奇数，a，对于任意一个正奇数x，规定
C（x）=（ax+b）/2e（x）
其中e（x）是ax+b所含的因数2的个数。这就是说，ax+b问题的关键在于对奇数的情形的迭代，并且在迭代过程中只要出现一个2的幂，问题就自然解决了。显然，当a=3，b=1时，即3x+1猜想。
令人遗憾，无论特殊的3x+1猜想，还是推广为ax+b的各类问题，世界一流的大数学家卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，虽然取得了一些成果，如1970年数学家考克斯物用计算机检验了由1至50万所有的自然数；又有人验算到7×1011（700亿），目前日本人算到240以下自然数，都认为猜想是对的，但却给不出一般性的证明，至今未获得突破性进展，它仍是一个谜。
攻克“3x+1猜想”的奖励引人注目，最初是1970年考克斯特悬赏50美元开始，后来大数学家爱尔特希悬赏500美元，最近英国数学家施威茨悬赏1000英镑。但精神奖励将永载史册。许多年过去了，至今没有人靠近领奖台。
也许，奇迹会在21世纪出现。
孪生素数猜想
12345，个十百千万的数字，叫做正整数。那些可以被2整除的数，叫做偶数。剩下的那些数，叫做奇数。还有一种数，如2，3，5，7，11，13等等，只能被1和它本数，而不能被别的整数整除的，叫做素数。除了1和它本数以外，还能被别的整数整除的，这种数如4，6，8，9，10，12等等就叫做合数。一个整数，如能被一个素数所整除，这个素数就叫做这个整数的素因子。如6，就有2和3两个素因子。如30，就有2，3和5三个素因子。
1849年，波林那克提出孪生素生猜想，即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个？这是一个至今都未解决的数学难题。一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研。早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多。许多迹象也越来越支持这个猜想。最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法。设所有的素数的到数和为：
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…
如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数。但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大。由此说明素数有无穷多个。1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：
B=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+…
如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了。这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿。他证明了这个倒数和是一个有限数，现在这个常数就被称为布隆常数：B=1.90216054…布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。
1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p（x）表示小于x的孪生素数对的个数。
p（x）与x之间的关系是什么样的呢？1922年，英国数学家哈代和利托伍德提出一个孪生素数分布的猜想：
p（x）≈2cx/（lnx）2
其中常数c=（1—1/22）（1—1/42）（1—1/62）（1—1/102）…
即，对于每一个素数p，计算（1—1/（p—1）2），再相乘。经过计算得知c≈0.66016称为孪生素数常数。这个猜想如上所述有可能是正确的，但是至今也未获证明。
“孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题，它也是现代素数理论中的中心问题之一，谁能解决它（不论是证明或否定），必将成为名扬千古的历史人物。
6174猜想
1955年，印度数学家卡普耶卡研究了对四位数的一种变换：任给出四位数k0，用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数rev（m），得出数k1=m—rev（m），然后，继续对k1重复上述变换，得数k2。如此进行下去，卡普耶卡发现，无论k0是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行7次上述变换，就会出现四位数6174。例如：
k0=5298，k1=9852—2589=7263，k2=7632—2367=5265，k3=6552—2556=3996，k4=9963—3699=6264，k5=6642—2466=4176，k6=7641—1467=6174。
后来，这个问题就流传下来，人们称这个问题为“6174问题”，上述变换称为卡普耶卡变换，简称K变换。
