一般地，只要在0，1，2，…，9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0（不一定是四位数），然后从k0开始不断地作K变换，得出数k1，k2，k3，…，则必有某个m（m=<7），使得km=6174。
更一般地，从0，1，2，…，9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0（不一定是n位数），然后，从k0开始不断地做K变换，得出k1，k2，…，那么结果会是怎样的呢？现在已经知道的是：
n=2，只能形成一个循环：（27，45，09，81，63）。例如取两个数字7与3，连续不断地做K变换，得出：36，27，45，09，81，27，…出现循环。
n=3，只能形成一个循环：（495）。
n=4，只能形成一个循环：（6174）。
n=5，已经发现三个循环：
（53855，59994），（62964，71973，83952，74943），（63954，61974，82962，75933）。
n=6，已经发现三个循环：（642654，…），（631764，…），（549945，…）。
n=7，已经发现一个循环：（8719722，…）。
n=8，已经发现四个循环：（63317664），（97508421），（83208762，…），（86308632，…）
n=9，已经发现三个循环：（864197532），（975296421，…），（965296431，…）
容易证明，对于任何自然数n≥2，连续做K变换必定要形成循环。这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故。但是对于n≥5，循环的个数以及循环的长度（指每个循环中所包含数的个数）尚不清楚，这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题。
拉姆赛理论
如果有人告诉你，在任何6个人中，总可以找到3个相互认识的人或3个相互不认识的人（A认识B，B也认识A，就认为A、B是相互认识的），你可能会将信将疑，但这的确是正确的，而且是近代组合学中著名的拉姆赛理论的特例，并被选为1947—1951年匈牙利数学竞赛试题，成了有名的经典例子。
拉姆赛理论是英国数学家、哲学家兼经济学家拉姆赛1928年在他的一篇文章中提出的，它的核心内容是：“任何一个足够大的结构中必定包含有一个给定大小的规则子结构。”
关于上述例子的证明是很有意思的：
6个人用6个顶点表示。两个人相互认识用实线相连，两个人相互不认识则用虚线相连。
考虑A所连出的线，在5条线中每一条不是虚线就是实线，因此一定有一种线的数目≥3（这实际上用了抽屉原理）。不妨设AC、AD、AE是虚线，这时连线CD若是虚线，则C、D、E就是相互不认识的3个人，已经满足题目要求，因而设CD是实线。同理，CE、DE是虚线时也已经找到3个相互不认识的人，从而也只能是实线，但这时C、D、E成为相互认识的3个人，题目条件同样被满足。所以，无论如何总能找到3个相互认识或相互不认识的人。
21世纪七大数学难题
美国麻州的克雷数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。
“千僖难题”之二：霍奇猜想
20世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
“千僖难题”之三：庞加莱猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
“千僖难题”之四：黎曼假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826—1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s的性态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1，500，000，000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
“千僖难题”之五：杨—米尔斯存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨—米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
“千僖难题”之六：纳维叶—斯托克斯方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶—斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶—斯托克斯方程中的奥秘。
“千僖难题”之七：贝赫和斯维讷通—戴尔猜想
数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通—戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点。
没有捷径可以走
古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。
