悖论，是一种奇特的逻辑矛盾。悖论的奇特之处在于当人按常规推理要肯定某件事或某种道理时，却在不知不觉之间又把它们否定了。在论辩中，某些论敌的辩辞往往有意无意会含有悖论的因素，此时，论辩者如能慧眼明察，加以利用，并以此为突破口，巧妙地予以破解，必使论敌难以自圆其说而被击败。这就是论辩中的“悖论破解法”。“悖论破解法”一般说来，有以下三种：
一、用自我涉及方法使对方作茧自缚
一般的悖论，如果不涉及对方自我，往往不易发现其悖谬。而一旦把对方牵涉进去，则悖论立现。用对方自我涉及的方法来使对方作茧自缚，是破解对方悖论绝妙方法。某评论家评论某作家的作品，武断地说：“您怎么能这样写呢？您已是第三次在作品里作这样的描写了。难道您不知道‘第一个把女人比喻来花的人是天才，第二个是庸才，第三个是蠢材’这句名言吗？”作家答道：“是的，您说得很对。不过您已经是第七次使用这句话了。”在这里，评论家引用名言来批评作家屡次在作品中作相同的描写，作家及时抓住评论家多次用此名言去批评别人的把柄，让对方自我涉及。如果对方所讲的道理成立，那么，对方也就是名言中所说的“庸才”、“蠢材”。如此，对方只好无言以对了。
二、用二难推理形式揭穿对方悖论的逻辑错误
凡是悖论，都隐含着自相矛盾的逻辑错误，破解对方的悖论，可以运用逻辑中的二难推理形式揭穿对方悖论的自相矛盾，对方悖论构成夹击钳制之势，使对方陷入进退两难，难以自圆其说之境地。有些诡辩学者主张“辩无胜”。对此，一位哲学家反驳道：“你们既然和人辩论，又主张‘辩无胜’之说，那么，请问，你们的‘辩无胜’之说是对的呢，还是不对的呢？如果你们的说法是对的，那就是你们辩胜了；如果你们的说法是不对的，那就是你们辩败了，而别人辩胜了。由此可见，不是你们辩胜，就是别人辩胜，怎么能说‘辩无胜’呢？”在这里，哲学家慧眼识谬，机智地运用了逻辑中的二难推理形式，揭穿了对方“辩无胜”的矛盾，让对方自己打自己的耳光。
三、用肯定其美言的方式，揭露对方言行相悖
在现实生活中，有的人说话冠冕堂皇，然而所作所为离其所讲的差距很大，这也是一种言行相悖的悖论。在论辩中，如果遇到这种情况，可以先极力肯定、赞美对方所说的美言，再以其美言反衬其丑行，达到揭露其心口不一、言行相悖的目的，使其不得收敛自己的丑行。春节将至，某局长助理到下属单位找到该单位负责人，暗示该单位负责人在年终时到局里拜拜年。这位下属单位负责人推辞说年终工作忙暂时去不了。该助理却一步明示，他说：“我来时，局长说了，下属单位给我们送一点点，我们收一点点，但我们也要给上面送一点点，这样，我们局里的事就好办一点点，请你们还是要多多理解。”话已到此，该单位负责人只好说：“你说局长说的这些话，我没有亲耳听到，可是上次局里开廉政会议，我可是亲耳听到局长讲话要求大家要抵制不正之风，反腐倡廉，局长还说要做好表率。你说局长讲的这些话，我感到和他在廉政会议上讲的正好相反，我们到底是按他在会上讲的还是按你传达的去执行呢？是否打电话请示一下局长？”说着，他就要去取电话。该助理见状，急忙说：“别，别！就算我白来一趟。”说完，悻悻地走了。在这里，这位下属单位的负责人，以其人之道，还治其人之身，当对方打出局长旗号时，他使用局长在廉政会议上的冠冕堂皇的话来揭穿其言行相悖的悖论，终使对方悻悻离去。
发狂的计算机
世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。
M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者悖论。
语句：“这句话是错的”。
M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中。
这条悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。这台计算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很明显，要它预言正确，在逻辑上是不可能的。
戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”而没想到的是，计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命。
狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场
这是一个寓言，话说在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。在这个村子里，有50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫如何。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人们是赞同这一章程的、聪明的、能意识到别的妇女的聪明、并且很仁慈，即她们从不向那些丈夫不忠实的妇女通风报信。假定在这个村子里发生了这样的事：所有这50个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心翼翼地一如既往。有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告，说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知识，会发生什么？
答案是：在女族长的警告之后，将先有49个平静的日子，然后，到第50天，在一场大流血中，所有的女人都杀死了她们的丈夫。
要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫A先生。
除了A太太外，所有人都知道A先生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有A太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出A先生就是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。
现在，假定有两个不忠实的男人，A先生和B先生。除了A太太和B太太以外，所有人都知道这两起背叛，而A太太只知道B太太家的，B太太只知道A太太家的。A太太因而从女族长的声明中一无所获。但是第一天过后，B太太并没有杀死B先生，她推断出A先生一定也有罪。B太太也是这样，她从A太太第一天没有杀死A先生这一事实得知，B先生也有罪。于是在第二天，A太太和B太太都杀死了她们的丈夫。
如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫，A先生、B先生和C先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似于前面描述的推理过程，A太太、B太太和C太太会从头两天里未发生任何事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论：如果所有50个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能在第50天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。
现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对1997年夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替为抛股票；警告和杀戮之间的50天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。这样，马来西亚总理在1997年4月批评西方银行的讲话就起着女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。1997年10月全球股市大跌。
幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买和卖。
最高和最矮的
班上有64位同学，身高都有一些微小差异。让他们排成8行8列的方阵。如果从每一行8位同学中挑出一位最高的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最矮的同学A。让这些同学回到各自原来的位置站好后，再从每一列8位同学中挑出一位最矮的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最高的同学B。且假定A与B是不同的两个人，你看他们谁高？
这是一个很有趣的问题，但要做出满意的回答，却需动动脑筋。首先遇到的问题是A、B两位同学的位置无法确定，更何况64人排成8行8列的方阵，其排法又何止万千！
但是，问题真的那么复杂、那么难以解决吗？数学的方法可以为你帮很大的忙。
A、B两位同学在方阵中的位置，不外乎以下几种情况：
（1）A与B在同一行。
这时，A是从这一行中挑出的最高的，所以A比B高；
（2）A与B在同一列。
这时，因为B是从这一列中挑出的最矮的，所以还是A比B高；
（3）A与B既不同行，也不同列。
如下图所示，我们总可以找到一个A所在的行与B的在的列相交的位置，假定排在这个位置上的是同学C，则按题目的规定，A比C高，所以仍然是A比B高。
综上所述，不论哪种情形，A总比B高。
头发与心肌梗塞
某报纸上报道了国外有的科学家，通过对头发的化学成分的分析，发现头发内包含有大量的硫和钙。精确的测定表明，心肌梗塞患者头发中的含钙量已降到了最低限度。假定一个健康男子头发的含钙量平均为0.26%，那么，一个患有心肌梗塞的男子，他的头发的含钙量仅仅只有0.09%。据此，科学家们相信，根据头发含钙量的变化，可以诊断出心肌梗塞的发展情况。这则报道里提到的科学家诊断心肌梗塞发展的情况，运用了什么逻辑方法？
这些科学家们运用了逻辑学中的共变法。共变法是这样一种逻辑方法：在被研究现象发生变化的各个场合里，如果其他情况都未变化，只有一个情况发生了变化，那么，这惟一发生变化的情况就是被研究现象的原因。比如，在其他情况不变的条件下，气温上升了，温度计里的水银柱也就上升了；温度下降了，温度计里的水银柱也就下降了，我们由此就可以作出结论说，温度的升降是温度计里水银柱升降的原因。这就是共变法的运用。
共变法可用公式表示如下：
场合先行情况被研究现象
1A1、B、C、Da1
2A2、B、C、Da2
3A3、B、C、Da3
所以，A情况是a现象的原因，本题中，科学家们正是运用共变法的原理，在其他情况保持不变的条件下，根据心肌梗塞病情发展越厉害，头发中的含钙量就相应地越加减少的事实，即头发的含钙量的减少状况与心肌梗塞病情的发展状况之间有定量的共变关系，得出了结论：通过对头发中含钙量的分析，是可以预断心肌梗塞病情的发展状况的。
回波为什么会增强？
大约在50年前，人们开始使用雷达向地球大气的电离层发射电波，通过对接收到的回波的分析，来研究电离层对电波的影响。后来人们常常发现，接收到的回波往往有所增强（即比仅仅是由电离层反射回来的回波强）。于是，当时就有人提出猜测说，这种反常现象（回波增强）可能是由于射电波在空中遇到了能够反射电波的其他物体。
请问：这一猜测的提出，运用了什么样的逻辑方法？
回波为什么会增强呢？
猜测者在猜测过程中，运用了剩余法这种求原因的逻辑方法。剩余法是这样一种逻辑方法：如果被研究的现象是一个复合现象，已知某一复合现象是该复合现象的原因，并又知前一现象中的某一部分是后一现象中某一部分的原因，那么，前一现象中的其余部分则为后一现象中另一部分的原因。
剩余法可用公式表示如下：
复合现象A、B、C、D是复合现象a、b、C、d的原因，
B是b的原因，
C是c的原因，
D是d的原因，
所以，A是a的原因。就本题来说，由于人们已经知道，向空间发射电波后，回波的数量是由空间的反射电波的物体所引起的，而且，回波中的一部分是由地球大气的电离层的反射所引起的。那么，回波中多余的另一部分（即回波增强的部分），显然是由另一个能反射电波的物体所引起的。按照剩余法：既然回波的总强度是由引起该回波的一切能反射电波的物体所引起的，现在，已知回波中一部分强度是由电离层所引起的，那么，回波中剩下的一部分强度，一定是由另一能反射电波的其他物体所引起的。
后来发现的事实，证明了这一推测是正确的。在第二次世界大战期间，英国伦敦的防空部队用四米雷达来搜寻德国前来偷袭的火箭时，除了接收到火箭的回波以外，偶尔还接收到距离差不多的另外物体的回波。又如，1932年在狮子星座流星雨期间，当许多看得见的流星经过头顶上空时，人们曾观察到非常强的无线电回波。从此，人们终于了解到，这些来历不明的无线电回波，原是由流星引起的。
趣味数学题
集合S中有n个元素，分别标记为a1，a2，a3…，an。现要求每次只能对换S={1，2，3，…，n}其中两个不同的，比如对换a3，a4得到S={1，2，4，3，…，n}，下一次对换a2，a4得到S={1，3，4，2，…，n}，现一共进行m次这样的对换，又得到最初的S={1，2，3，…，n}。那么m一定是偶数。怎么证明？
首先证明交换奇数次后，新数列有奇数个数与原数列不同。
当n=1时，显然成立。
设当n=2k+1时成立。当n=2（k+1）+1时为n=2k+1时再交换两次，有三种情况。
1.多一个与原数列不同的数，少一个与原数列不同的数，此时0+奇数仍为奇数。
2.多两个不同2+奇数仍是奇数
3.少两个不同—2+奇数仍是奇数
综上，任意交换奇数次原数列总有奇数个数与原数列不同。所以m为偶数。
首位数问题
人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。
