天文学家在进行天文计算时，经常要使用对数表。20世纪初，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以1为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其他数字的自然数要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。
大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外，共有九个数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9。用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为1的自然数应该占全体自然数的1/9。可是，事实并不这么简单。1974年，现在是美国斯坦福大学统计学家珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是1的自然数约占全体自然数的1/3。准确一点说，这个数值应该是lg2，约为0.30103。这是怎么一回事呢？
事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是：
1到9之间，这样的数只有1个，它就是1，所以占1/9；
1到20之间，这样的数有11个，它们是1，10，11……19，所以约占1/2；
1到30之间，这样的数同样有11个，约占1/3；
1到100之间，这样的数仍然只有11个，约占1/9；
1到200之间，这样的数有111个，它们是1，10，11，…，19，100，101……199，约占1/2。
注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在1/2与1/9之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的lg2。
迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅图波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。
“没有来的举手”
从前，山东省有个大军阀，在一次会议开始时想点点名，了解一下哪些人来，哪些人没来。可是，到会的人数比较多，点名很费事，于是这个不学无术的军阀就想了一个“办法”，他大声地叫道：“没有来的人举手！”
他认为没有来的人总是少数，只要知道哪些人没来，来的人无需一一点名就明白了。到会的人面面相觑，都感到莫名其妙。
在数学中，集合是一个重要的基本概念。今天会议应到的人就构成一个集合。其中实到的人是应到的人的一部分。我们就把应到的人叫做“全集”，实到的人叫做它的“子集”。未到的人也是应到的人的一部分，所以它也是一个子集。实到的人这个子集与未到的人这个子集正好是应到的人这个全集，我们把这两个子集叫做互补的集合。这个军阀为了了解“实到的人”这个子集，转而去了解这个子集的补集——未到的人的集合。这个方法是不错的。不过由于他脱离了实际，结果闹了个大笑话。
“补集”的思想在我们生活中是常用的。现在是什么时间了？3点差2分。这里不说2点58分，因为3点差2分比较简单明了。在电视和小说中也常看到，公安人员侦破案子时，总是逐一地把确证为不可能作案的嫌疑者排除掉，从而缩小嫌疑对象的范围，这里也用到补集的思想。
兔子伤风
狮王指定熊、猴子和兔子做它的大臣。后来，狮王跟它们一起呆腻了，想要把它们吃掉。可是，得找个借口才行。因此，狮王就把这三个大臣召来，对它们说：“你们当我的大臣有不少日子了，我现在得测验一下，看你们当了高官以后有没有腐化。”说完，狮子张开了血盆大口，要熊说出它嘴里发出的是什么气味。
熊直率地说：“大王，你嘴里的气味很不好闻。”
“你犯了叛逆罪！”狮王怒吼道，“你竟敢当面毁谤国王。犯叛逆罪的应该处以死刑。”说罢，就扑到熊的身上，把它咬死并吃掉了。
接着，狮王问猴子：“我嘴里发出的是什么气味？”
猴子亲眼看到熊的下场，赶忙回答道：“大王，这气味很香，就跟上等香水一样好闻。”
“你是个又会撒谎又会拍马屁的家伙！”狮王又怒吼道，“凡是不诚实的、爱拍马屁的大臣，都是祸根，绝对不能留下。”说着，又扑到猴子身上，把它咬死并吃了。
最后，狮王对兔子说：“我嘴里发出来的到底是什么味？”
“真是抱歉，大王！”兔子回答说，“我最近伤风，鼻子都塞住了。你能不能让我回家休息几天，等我伤风好了再说？”
狮王没有办法，只好放兔子回家。不用说，兔子乘此逃之夭夭，一去不复返了。
读罢上面的故事之后，请你回答：狮子的言论有否错误？兔子的回答是否违反排中律的逻辑要求？
狮子要找借口，吃掉熊、猴子和兔子。既然是找借口，那么它的言论违反充足理由律的逻辑要求，那是肯定无疑的。例如，熊说的“你嘴里的气味很不好闻”，同狮子所说的“犯了叛逆罪”是没有什么逻辑联系的，即从熊的回答是得不出狮子提出的罪名的。
狮子的言论也是违背排中律的逻辑要求的。因为狮子的嘴本来就是臭的，熊直率地说它嘴的气味不好闻，狮子说熊犯下叛逆罪；猴子说它嘴里的气味很香，狮子又说猴子爱拍马屁。换句话说，在回答狮子“嘴里什么气味时”，诚实不行，不诚实也不行。从逻辑上说，狮子必须在诚实的回答与不诚实的回答中肯定一个，但它却把两者都否定了，所以，它违反了排中律的逻辑要求。
兔子亲眼看到了熊与猴子的下场，使它认识到说臭该死，说香也该死，可是，又不能不回答。在这种情况下，它只好找一个避免明确表态的借口：“我最近伤风，鼻子都塞住了……等我伤风好了再说。”而这个借口是正当的，因为鼻子塞住了，怎么能闻出香臭？既然闻不出香臭，自然也就可以对狮子嘴里的气味不作出明确的回答。兔子就这样用智慧战胜了蛮横凶狠的狮子。
白马非马
战国末年的公孙龙，是我国古代名辩学派的著名逻辑学家和哲学家。《白马论》是他的一篇著名的哲学论文。
这篇论文要证明的一个论题是：“白马非马。”“白马非马”显然是同人们的常识相悖的。但是，为了使这个命题成立，他提出了很多理由，其中一条是：“求‘马’，‘黄’‘黑’马皆可致，求‘白马’，‘黄’‘黑’马不可致。”意思是说：马包括了白马、黄马、黑马，但是白马并不包括黄马和黑马。这话本来是不错的，但是，公孙龙却以此为理由，推出“白马非马”来，这显然就错了。
从概念间的关系来说，公孙龙在这个问题上的错误是：歪曲了概念间类种关系的逻辑性质。
类种关系是概念间相容关系的一种，指的是一个概念的外延包含着另一个概念的全部外延这样两个概念之间的关系。比如：“工人”和“中国工人”，“三角形”和“等边三角形”之间的关系。在具有类种关系的两个概念中，外延大的概念称类概念（亦称属概念），外延小的概念称种概念。类种关系的概念在内涵、外延上有一种反变关系：就外延说，类概念大于种概念，但就内涵说，类概念却小于种概念。从这里，我们可以看出，一方面，类概念并不就是种概念（因为它的外延比种概念大，内涵比种概念小），因而把类概念和种概念等同起来是错误的；但另一方面，种概念属于类概念（即是类概念的一部分，因为它的全部外延都包含在类概念之中），因而认为种概念不是类概念，把二者对立起来也是错误的。
本题中的“马”和“白马”之间的关系正是这种类种关系，具有上述两方面的逻辑性质。
公孙龙看到了“马”和“白马”这两个概念在外延上有大小不同的区别，即“白马”包含在“马”类之中，而“马”不包含在“白马”之中，这是正确的。但是，他的结论却把这个区别绝对化了，从而否认了“白马”是“马”的一种，导致了否认种概念包含于其类概念外延之中的逻辑错误。
塑料杯问题
奎贝尔教授出了个难题：“取三个喝咖啡用的泡沫塑料空杯，把11枚硬币投入杯子中，要求每一只杯子中的硬币数目都是奇数。”奎贝尔教授：“这不难做到，是吗？方法很多，你可以在一只杯子中放入一枚硬币，第二只杯子中放入三枚硬币，最后一个杯子中放入七枚硬币。”这的确很容易。奎贝尔教授：“但是，你能否把十枚硬币放入同样的杯子中，使得每只杯子中的硬币数都是奇数？这也是能够办到的，不过你得动点脑筋才行。”奎贝尔教授：“但愿你还没有泄气。你只要想到把其中一只杯子放入另一只装着偶数个硬币的杯子中，就使每只杯子中都是奇数枚硬币了。”啊哈！一旦悟出杯中套杯，同一个集合的硬币可以属于不止一只杯子，这个棘手的问题也就迎刃而解了。用集合论的术语来说，我们的解是7个元素的集合和3个元素的集合，后一个集合又包含1个元素的子集。
试求所有其余的解亦很有趣。要得到十个解并不困难，上述解法即为其中之一。但若要发现其余的五个解，或者说十五个全部的解，却还需要花费一番精力。求出十五个解之后，可以把硬币和杯子的数目，以及对于每只杯中放入硬币数的要求作一些改变，从而产生一些新的问题。领悟到一个集合的部分或全部可以包含于另一个集合之中，从而可以作两次计算，这是解决许多著名难题和悖论问题的钥匙。下面是一个趣味问题：
一个男孩子逃学已经数周，学校考勤人员找到了他。小孩开始向他解释为何没有时间上学：“我每天睡觉需要8小时，8×365总共2920小时，一天有24小时，所以2920/24即122天。星期六和星期日不用上学。一年总共约有104天。我们还有60天暑假。我一天吃饭需要花3小时，一年就要3×365，共有1095小时，共有1095/24即45天左右。我每天还需要2小时的课外活动，算起来一年也要有2×365，共730小时，或730/24即30天左右。”小孩把所有这些天数相加如下：
睡觉122
周末104
暑假60
用餐45
课外活动30
总计361天
“你瞧，”小孩说，“仅剩下4天用作病假，我还没把学校每年应放的节假日算进去呢！”考勤人员听了后对小孩的数字研究了半天，看不出有什么破绽。请大家试试这个悖论问题，看有多少人能够指出其谬误所在，即把子集不止一次地算进去。这孩子所说的各项就像奎贝尔教授杯子中套杯子的硬币一样重复地作了相加。
东方朔巧答汉武帝
汉武帝逐渐衰老。一天，他在宫中照镜子，看到自己满头白发，形容槁枯，便闷闷不乐起来。他对身边的侍从说：“看来，我终究不免一死。我把国家治理成这个样子，上对得起祖宗，下对得起百姓，也算不错了，只有一事不放心，不知死后‘阴间’好不好？”东方朔回道：“阴间好得很，皇上尽管放心去吧！”汉武帝大惊，连问：“你怎么知道？”东方朔不慌不忙地回答说：“如果那里不好，死者一定要逃回来的，可他们却没有一个人逃回来，所以那边肯定好极了，说不定是个极乐世界哩！”汉武帝听后大笑，满面愁容顿时消去。这里东方朔的妙论实际上是一种数学逻辑。
一年只工作4天
工程师去应征一份工作。经理问他道：“你要求多少工资一年？”
“以我的工作能力，应值年薪十万元。”工程师道。
经理注视了他一会才说：“值年薪十万元？你计算清楚没有？一年只有365天，你每天睡觉花了8小时，则一年共花去122天。365天减去121天。再者，你每天除工作外有8小时是休息及娱乐的，即一年共有122天。那么，243天减去121天了，只余下121天了。但是，一共有52个星期，星期天不用上班，因此121天减去52天便剩下69天。同时，逢星期六下午是放假的，则一年一共26天，所以69天减去26天余下43天。再减公司给予的两星期年假只剩下29天。别忘了每天有一小时午餐时间即一年是15天。用29减15余下14天。再除去新历年、旧历年、中秋节、复活节、感恩节以及圣诞节等等公众假期共10天，这就是说，一年只工作4天。你认为值十万元吗？”
你是这个岛的居民吗？
有这样一个故事：在太平洋中有A、B两个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。当你问一个问题时，A岛的居民会告诉你正确的答案，而B岛的居民给你的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。他想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了一会儿，终于想出一个办法，他只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗？
如果旅游者直接问：“这是A岛还是B岛？”那么当被问者是A岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，他会得到错误的回答。两种回答截然相反，而旅游者又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问话是：“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B岛。这是为什么呢？
让我们对上面的问题作些讨论。旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问者是A岛居民或是B岛居民发生变化。
根据上述特点，我们设法找到这样的问题，使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在A岛提出这样的问题时，A岛居民应作肯定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答（B岛居民也会做否定回答，但回答与实际情况相反）。“你是这个岛的居民吗？”这一问题就是一个满足以上要求的问题，我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答：
问题：你是这个岛的居民吗？
问话地被问者
A岛居民B岛居民
A岛回答
是是
B岛不是不是
由上表可以一目了然地发现：在A岛提问时，回答总为“是”；在B岛提问时，回答总为“不是”。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解决。
