第七篇：命题1指出，“若在两个不等数中，每当从大数中尽可能地减去小数，再从小数中尽可能地减去所得余数，又从前一余数中尽可能地减去下一余数，如此下去，并且任何余数都不是前一余数的约数，直至达到1为止，则此两给定数互为素数”。这个命题是用归谬法证明的，从此可以得出求不是互素的两个或三个数的最大公约数的方法。第七篇其余部分讨论素数的性质。
第八篇：研究有关连比例数的定理。该篇指出如何在两个数之间插入若干几何中项，并证明了，如果两个数a与b之比等于另外两个数c与d之比，且a与b之间有n个几何中项，则在c与d之间也有n个几何中项。
第九篇：在此篇中发展了素数的理论，并且指出素数的个数是无限的。命题20：“素数比任何指定的数目都多”。欧几里得对此定理的证明，已被数学家们普遍地认为是数学的典范。此证明是用间接方法即归谬法完成的。现简述为：若只有有限个素数，不妨用α，β，…，l表示，设Q＝αβ…l，则Q＋1要么是素数，要么是合数。但是，因为α，β，…，l是全部素数。而Q＋1大于α，β，…，l中的任一个数，所以不可能是素数。另一方面，若Q＋1是合数，它必定能被某素数q整除。但是q必定是全部素数α，β，…，l的集合中的一个元素，这就是说，q是Q的一个因子，结果q不能整除Q＋1，于是我们最初假设（素数只有有限个）不能成立，此定理得证。
在本篇命题35采用了比较巧妙的方法来求几何级数的和：如果有任意多个数连成比例，并且第二个数与最后一数都可以减去第一个数，则第二个数的增量与第一个数之比，将等于最后一数的增量与最后一数前面的所有数之和的比。例如，若级数是：a1，a2，a3，…，an，an＋1则an＋1an=anan-1=…=a2a1，即：an＋1-anan。=an-an-1an-1=…=a2-a1a1。
现在，如果有任意多个数成连比例，则由于任一前项与后项之比等于所有前项的和与所有后项的和之比，故将所有前项与所有后项相加，即得：an＋1-anan＋an-1＋…＋an=a2-a1a1。
这个关系即可确定Sn，即a1＋a2＋a3＋…＋an。但欧几里得实际上没有用这个方法来求几何级数的和，而是用它来建立确定完全数的法则。
第十篇：主要讨论无理量。本篇中的16个定义可分为三类，第一类（4个定义）：主要阐述可通约量，不可通约量，有理性和无理性的一般定义。第二类（6个定义）：为了表示6个和无理量，确定6个二项线段。第三类：为了表示6个差形无理量，确定6个余线段。应该说这一篇是欧几里得的杰作，一些数学史家认为第十篇最为完美，远非其它各篇甚至第五篇所能比拟的。
值得注意的是命题1，它提供了穷竭法的基础，实际上，此种方法早在欧多克索斯时已经使用过，到了欧几里得手中已经能运用自如了。命题1的含意是，取两不等量，若从大量中减去一个大于或等于它本身一半的量，再从余量中减去大于或等于这余量一半的量，并且不断重复这一程序，则最后剩下的将是一个比所取二量中较小的一个还要小的量。欧几里得的证明如下：设AB与c为二给定的不等量，AB＞c。同时c的某一倍数一定会大于AB（定义4）。不妨设EF是c的倍数，则EF＞AB。将EF分成几部分，即EM，MN，NF各与c相等。从AB割去大于它本身一半的AD，再从剩下的DB割去大于本身之一半的DG，这样不断继续下去，直到AB的分段数目与EF的分段数目相等。
设AD，DG，GB为AB的分段，其段数与EM，MN，NF的段数相等。由于EF大于AB，并从EF已经割去了小于其一半的FN从AB已经割去了大于其一半的AD，所以剩下来的NE大于剩下来的DB。
由于NF＞DB，并且从NE已经割去了其一半，即MN，从DB已经割去了大于其一半的DG，由此可知剩下来的EM大于剩下来的GB。但是，EM＝c即GB＜c，亦即剩下来的量小于给定二量中较小的量。此命题得证。
第十一篇至第十三篇集中讨论了立体几何问题。第十一篇把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上。立体角的定义是由两个以上的平面角所包围的角，这些平面角不在同一平面内，但都是从同一点作出的。
第十二篇：主要应用“穷竭法”证明一些命题。穷竭法的“穷竭”一词起源于相继作正内接多边形“穷竭”了圆的面积。希腊人并没有用这个词，到了17世纪，人们才使用这个名词。这种方法，仅仅是走向严格极限概念的一步，但是，我们会看到这种方法是严格的。它依赖于间接证法，不含明确的极限步骤，实际上，有人认为欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼兹这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并想用极限概念。
命题1：圆内接相似多边形之比等于圆直径平方比。
命题2：圆与圆之比等于其直径平方之比。
欧几里得对命题2的证明步骤如下：
设两圆分别为ABCD和abcd；BD与bd分别是两圆直径。若圆ABCD面积：圆abcd面积≠BD2∶bd2，则BD2与bd2之比将等于圆ABCD与某一大于或小于圆abcd面积之比。
（1）设BD2与bd2之比等于圆ABCD与一较小面积之比，令比较小面积为S。在圆abcd内作正方形abcd，如下图。通过a，b，c，d作圆的切线，于是构成一圆外切正方形，并且它的面积将是正方形abcd的面积的2倍。由于圆的面积小于其外切正方形的面积，所以内接正方形的面积大于圆abcd的面积的一半。
现在将弧ab，bc，cd，da在e，f，g，h处平分，并连接ae，eb，bf，fc，cg，gd，dh，ha。在e点作切线，于是在ab上完成了一个长方形。此长方形是三角形abe的2倍，因为弓形aeb小于此长方形，所以，三角形abe大于弓形aeb的一半。同理，对于弓形bfc等等也是如此。若把余下的各弧，例如ae再予以平分，且把它们的中点同a和e等点连接，最后就会得到一些弓形，其面积小于圆abcd的面积与面积S之差。由第十篇命题1（即：对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小量），多边形aebfcgdh就大于面积S。再在圆ABCD内作内接多边形AEBFCGDH，它与多边形aebfcgdh相似。于是多边形AEBFCGDH之面积：多边形aebfcgdh的面积=BD2∶bd2。
而BD2∶bd2=圆AEBFCGDH∶S，所以，圆AEBFCGDH∶S=多边形AEBFCGDH∶多边形aebfcgdh，故圆AEBFCGDH∶多边形AEBFCGDH=S∶多边形aebfcgdh。又因为圆AEBFCGDH大于其内接多边形，所以面积S大于多边形aebfcgdh之面积。由假设，它也小于多边形aebfcgdh之面积，这是不对的。
（2）同理可证，圆ABCD与一个大于圆abcd的面积之比，不可能等于BD2与bd2之比。
第十三篇：叙述了球的五种内接正多面体（即四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）的作图法，实际上是要建立立体的边（棱）与球的半径之间的关系。欧几里得通过巧妙的推理得出了下列结果：四面体的边=2γ63，八面体的边=γ2，立方体的边=2γ33，十二面体的边γ（15-3）3，二十面体的边=γ10（5-5））5，在最后的命题18，证明了正多面体不能多于5种。
三、历史意义
欧几里得《几何原本》是一部最早且内容丰富的数学著作，是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的首次尝试。
1.欧几里得创造性地建立了初等数学体系，采用先摆出所用公理，明确提出所用的定义，由浅入深地揭示一系列定理的方法。这样编排符合人们的认识规律，所以，一直被人们所沿用。
2.欧几里得在《几何原本》中，对公理的选择是很出色的，使得用一小批公理证出几百个定理，其中，有很多是深奥的，尤其对平行公理的处理更显得高明。在定理的取舍方面，他是经过认真筛选的。例如：在《几何原本》中没有列入三角形三条高交于一点（在初等数学中最一般）的定理，还有一些欧几里得其它著作中的定理，在此他也不屑一顾。
3.欧几里得把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法，从而把数学作为演绎系统建立起来，使数学从经验知识上升成为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生，并相对独立地得到发展。
4.欧几里得示范地规定了几何证明的方法：分析法，综合法及归谬法。有的证明相当精练，有独道之处。
5.对欧几里得撰写《几何原本》的目的有不同看法，有人认为是给数学家看的学术著作，也有人说是写给学生的课本，普罗克洛斯比较相信后一种说法。确实《几何原本》对数学教育产生了极为深远的影响，2000年来，一直被公认为初等数学的基础教材。
当然，《几何原本》也有其不完善的地方，例如，没有逻辑依据地运用了运动的概念，认为把图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变，等等。
总之，欧几里得《几何原本》的著成与传播，标志着数学进入一个新的阶段。在中国，17世纪始有《几何原本》前6卷的译本，直到19世纪中叶，才有完整的《几何原本》的译本。《几何原本》的传入，曾对中国数学和数学教育产生了深远的影响。
