由置换组成的群。n元集合到它自身的一个一一映射，称为上的一个置换或n元置换。
有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的著作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专著《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表
了关于置换群的重要文章(1815)。
他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。
伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规于群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。
可惜他的工作没有及时为数学界所了解。
柯西在1844--1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。
他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个P阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。
置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。
